Producto Cruz o Vectorial

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Unidad 2 : VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO


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Tema 2.4_Producto Vectorial Transcripciones

 20 
Unidad 2 : VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO 
 
Tema 2.4 : Producto Cruz o Vectorial de Vectores 
 
(Estudiar la Sección 12.4 en el Stewart 5ª Edición y hacer la Tarea No. 7) 
 
Definición de determinante de 2 por 2: bcad
dc
ba
−=  
 
Definición: Dados los vectores 321321 ,,;,, bbbbaaaa ==
rr
   entonces: 
 
( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba
bb
aa
k
bb
aa
j
bb
aa
i
bbb
aaa
kji
ba
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
122113312332
21
21
31
31
32
32
321
321
−+−−−=
+−==×
rr
 . 
 
Nota 1: El vector ba
rr
×  es perpendicular al plano que contiene ambos vectores. 
 Ejemplos: jikikjkji ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ =×=×=×  
Nota 2: El producto cruz no es conmutativo : abba
rrrr
×−=×  
 
Definición: Dados los vectores bya
rr
 con magnitudes bya
rr
 y con un ángulo θ  
entre ellos, entonces: θsenbaba
rrrr
=×  .  
 
Nota 3: Dos vectores no nulos bya
rr
 son paralelos si 0=× ba
rr
 
 
Area del Paralelogramo definido por los vectores bya
rr
= ba
rr
×  
 
Triple Producto Escalar 
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cba =×⋅
rrr
 
 
Volumen del Paralelepípedo definido por los vectores cyba
rr
, = cba
rrr
×⋅  
 
 
 
 21 
Ejercicios sobre el Producto Cruz 
 
1.- Encuentre el producto cruz de los vectores 5,7,24,3,1 −== bya
rr
 
 
2.- Encuentre el área del triángulo con vértices ( ) ( ) ( )1,1,1,1,5,2,6,4,1 −−− RQP  
 
3.- Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a kjibjia ˆˆˆ;ˆˆ +−=+=
rr
 
 
4.- Encuentre un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y 
 encuentre el área del triángulo PQR, si ( ) ( ) ( )7,1,3,5,4,2,1,0,1 RQP −  
 
5.- Encuentre el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes PQ, PR y PS si: 
 ( ) ( ) ( ) ( )4,1,6,1,0,1,5,4,2,2,1,0 −− SRQP  
 
6.- Utilice el triple producto escalar para determinar si los siguientes vectores son 
 coplanares:  18,9,0;4,1,2;7,4,1 −=−=−= cba
rrr
 
 
 
 
 
1,13,43:1 −R   ;  64.22
2
1600
;15,15,40:2 ==−−=× áreabaR
rr
;  
6
2
,
6
1
,
6
1
:3
mm±
R   ; 
2
741
;7,4,26:4 −R   ;  4:5R   ;  SíR :6  
 
 22 
 
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA 
 
Tarea No 7 : Producto Vectorial de Vectores 
1 
Determine el producto cruz, o vectorial, ba
rr
×  de los vectores: 
1,2,3;0,1,1 =−= ba
vr
 
2 
Determine el producto cruz, o vectorial, ba
rr
×  de los vectores: 
kjibkjia ˆ3ˆ2ˆ;ˆ4ˆ2ˆ3 −−=++=
vr
 
3 Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a 4,4,01,1,1 y−  
4 
Encuentre el área del paralelogramo con vértices:  
( ) ( ) ( ) ( )1,2;2,5;0,3;1,0 −− DCBA  
5 
(a) Encuentre un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q, y R, y 
(b) encuentre el área del triángulo PQR. 
( ) ( ) ( )7,3,4;1,1,1;0,0,0 RQP −  
6 
Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores 
6,5,8,8,3,2,6,0,1 −=−== cba
rrr
 
7 
Encuentre el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes PQ, PR y PS.   
( ) ( ) ( ) ( )2,1,3;7,1,4;3,0,2;1,1,1 −−SRQP  
8 
Utilice el triple producto escalar para verificar que los vectores  
kjicyjibkjia ˆ2ˆ3ˆ7;ˆˆ;ˆˆ3ˆ2 ++=−=++=
rrr
  ; son coplanares 
R1: kji ˆ5ˆˆ +−− ;  R2: kji ˆ8ˆ13ˆ2 −+ ;  R3: 
6
1
,
6
1
,
6
2
;
6
1
,
6
1
,
6
2 −−−
 
R4: 4;  R5: ( ) ( )
2
158
;7,3,10 ba −−  ;  R6: 226;  R7: 21 
 

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