DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA RECTA

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1
DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA RECTA 
 
1u
2u

 21,aaA
 21,vvv
Llamaremos determinación lineal de 
una recta a la pareja formada por un 
punto A  de dicha recta y un vector v  que 
marque la dirección de esa recta. 
 
En general, una ecuación de la recta es 
una relación entre las coordenadas  yx,  
de un punto genérico X  del plano que nos 
permita saber si ese punto está o no en la 
recta. 
 
La primera forma de imponer dicha condición es a través de la Geometría Vectorial:  
 
  sii    :       Ecuación vectorial de la rectaX r AX v    
 
  
 
Si desarrollamos la ecuación vectorial se obtiene: 
  sii    :   X r AX v OX OA v         
    
  
      2121 , ,, vvaayxvOAOX   
 
recta la de asparamétric Ecuaciones 
 
 
22
11








vay
vax


 
 
Si en la ecuación paramétrica eliminamos el parámetro se tiene lo siguiente: 

















2
2
1
1
22
11
 
 
v
ay
v
ax
vay
vax




 
recta la de continuaEcuación    
2
2
1
1
v
ay
v
ax 


 
 
A partir de la ecuación continua vamos a obtener dos ecuaciones: 
 
Para la primera, lo que vamos a hacer es pasar 2v  al miembro de la izquierda: 
 2 1 2
1
  Ecuación punto-pendiente de la rectav x a y a
v
    
 
Para la segunda, en la ecuación continua se efectúan operaciones: 
    2112
2
2
1
1  ayvaxv
v
ay
v
ax
 
 0122112211122 avavyvxvavyvavxv  
 
recta la de implícita o generalEcuación   0 CByAx  
 2
 
donde 122112 y      , avavCvBvA  . 
 
El vector director de una recta dada en forma general es el vector  ABv , , siendo AB y     los 
coeficientes de y  ý de x . Para sacar un punto basta dar un valor a x  (o a y ) y calcular el que falta. 
 
Si en la ecuación general despejamos y , obtenemos: 
0 A CAx By C y x
B B

        
recta la de explícitaEcuación   nmxy   
donde   y  A Cm n
B B
    . 
 
Al coeficiente m  se le llama pendiente de la recta y su valor es  
1
2
1
2
v
v
v
vm 

  
y n  recibe el nombre de ordenada en el origen, que da la coordenada y del punto de corte de la 
recta con el eje OY. 
A partir de la ecuación general 0 CByAx , podemos escribir CByAx  . Si 0C  
tenemos: 
)0 (si  11 BA
B
C
y
A
C
x
C
By
C
Ax








 
Así:  
recta la de asegmentari o canónicaEcuación    1
n
y
p
x  
 
donde 
A
Cp   es la abscisa en el origen (coordenada x del punto de corte de la recta con el eje 
OX). 
 
Para calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados, basta tomar como punto uno de 
ellos y como vector director el vector que determinan los dos puntos. 
 
Observación: Ecuaciones de los ejes 
En rectas paralelas a los ejes alguno de los denominadores de la ecuación continua es cero, por lo 
que dicha ecuación adquiere un carácter simbólico; para obtener en estos casos la ecuación general 
basta igualar a cero el correspondiente numerador. 
 

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