Trabajo y energía e impulso y cantidad de movimiento para la partícula

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3. TRABAJO Y ENERGÍA E IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA LA PARTÍCULA


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7-V-07 Transcripciones

 83 
 
 
 
 
 
3.  TRABAJO Y ENERGÍA E IMPULSO Y CANTIDAD DE 
MOVIMIENTO PARA LA PARTÍCULA 
 
 
3.1    Trabajo y energía cinética 
 
 
 
            1. Con una fuerza E de 20 kg, inclinada 30º, se 
empuja un cuerpo de 50 kg sobre una superficie ho-
rizontal, en línea recta, a lo largo de 10 m. Los coefi-
cientes de fricción estática y cinética son 0.3 y 0.2, 
respectivamente. Calcule el trabajo que realizan la 
fuerza E, el peso, la componente normal de la reac-
ción de la superficie y la fricción durante el movi-
miento descrito. 
 
 
 
 
Resolución 
 
Mediante el diagrama de cuerpo libre investigaremos 
las magnitudes de las fuerzas cuyos trabajos desea-
mos conocer. 
 
60;0
2
1
2050
0








NN
Fy
 
 
Por tanto 122.0  NFr  
 
Como las cuatro fuerzas son constantes, el trabajo se 
puede calcular mediante la expresión: 
 
  sFU  cos  
 
en donde  es el ángulo que la fuerza forma con el 
desplazamiento, que, en este caso, es horizontal y 
hacia la derecha. 
P = 50 
E = 20 
30° 
N 
Fr = 0.2 N 
x 
y 
         Trabajo e impulso 
 
 
 
84
  10
2
3
201030cos20 







EU  
mkg2.173 EU  
 
 10270cos50 PU  
 
 
 
 1090cos50 NU  
 
0NU  
 
   1011210180cos12 FrU  
 
mkg120 FrU  
 
El trabajo es un escalar que puede ser positivo, nega-
tivo o nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0PU
                                                                                                                           Trabajo e Impulso 
 
 
85 
 
 2. Una fuerza F de 500 N empuja un cuerpo de 
40 kg de masa que reposa en una superficie horizon-
tal. Sabiendo que el cuerpo se desplaza en línea recta 
y que los coeficientes de fricción estática y cinética 
entre el cuerpo y la superficie son 0.30 y 0.25, respec-
tivamente, calcule la velocidad del cuerpo cuando se 
haya desplazado 8 m. 
 
 
Resolución 
 
Investigaremos las magnitudes de las fuerzas externas 
que actúan sobre el cuerpo de 40 kg.  
 
)81.9(40;040
0


NgN
Fy
 
 
Por tanto: 
 
 
1.98
81.9)40(25.0


Fr
NkFr 
 
 
Los trabajos que realizan las fuerzas son: 
 
0 NP UU  
 
(pues son perpendiculares al desplazamiento) 
 
8.784)8(1.98
4000)8(500


Fr
F
U
U
 
 
La fórmula del trabajo y la energía cinética establece 
que: 
 
 
 
20
3215
0)40(
2
1
3215
2
1
8.7844000
2
2
1
2
2




v
v
vvm
TU
 
 
 
 
 

s
m68.12v
P = 40 g 
F = 500 
Fr = 0.25 N 
N 
x 
y 
         Trabajo e impulso 
 
 
 
86
 
3. El collarín de la figura, de 4 lb de 
peso, se suelta desde el punto A de la guía lisa 
de la figura y llega al punto B. Determine el 
trabajo que realiza su peso durante ese mo-
vimiento y diga con qué rapidez llega el collarín 
a B. 
 
 
 
  
 
Resolución 
 
Primer procedimiento 
 
Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre del collarín 
en una  posición cualquiera de su trayectoria. 
 
El desplazamiento tiene la dirección del eje tan-
gencial.  




B
A
dsU
dsPU


cos4
cos
2
1
 
 
Como el ángulo  , durante el movimiento, va de  
-90° ≤ θ ≤ 90°, integraremos sustituyéndolo por el 
ángulo  , que es el complemento de   y siempre 
crece.  




180
0
sen4 dsU   
 
Tomaremos un desplazamiento diferencial y lo rela-
cionaremos con  . 
 dds
ds
d 6.0;
6.0
  
 



180
0
sen6.04  dU  
 
 1)1(4.2
0cos180cos4.2


U
U
 
 
N 
t 
N 
t 
4 
ds 

d

0.6 


4 
ftlb8.4 U
                                                                                                                           Trabajo e Impulso 
 
 
87 
Segundo procedimiento 
 
Como el trabajo es una fuerza conservativa, es decir, 
el trabajo que realiza es independiente de la trayec-
toria que siga el cuerpo, se puede calcular multipli-
cando su magnitud por el cambio de nivel de la par-
tícula (vid. Prob. 4) 
 
 
 2.14

U
hPU
 
 
ftlb8.4 U  
 
 
 
         Trabajo e impulso 
 
 
 
88
  
4. Una partícula de masa m pasa por A con 
una rapidez vo. Sabiendo que la superficie es lisa, de-
termine, en función de la altura h, el trabajo del peso 
y la rapidez v con que pasa por el punto B. 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
En cualquier posición, las únicas fuerzas que actúan 
sobre la partícula son el peso y una reacción normal. 
Esta última no trabaja precisamente por ser normal al 
desplazamiento.   es el ángulo que el peso forma con 
el desplazamiento. 
 
 
B
A
B
A
dsmgdsmgU  coscos  
 
En la figura relacionaremos   con un desplaza-
miento diferencial. 
 
 







B
A
B
A
dhmgds
ds
dh
mgU
ds
dh
cos
 
 
mghU   
 
Utilizando la fórmula del trabajo y la energía cinética 
tenemos, tenemos: 
 
 
ghvv
vvmmgh
TU
2
2
1
2
0
2
2
0
2



 
 
ghvv 2
2
0   
 
Si 00 v , entonces: 
 
ghv 2  
 
N 
t 
mg 
ϴ 
ds dh 
ϴ 
                                                                                                                           Trabajo e Impulso 
 
 
89 
 
 5. El collarín de 5 kg de peso, se encuentra 
originalmente en reposo en el punto A. El resorte al 
que está unido tiene una longitud natural de 0.2 m y 
una constante de rigidez k = 200 kg/m. Calcule el tra-
bajo que realiza la tensión del resorte para llevar al 
collarín desde A hasta B, y la rapidez con que el co-
llarín llega a este punto. 
 
 
 
Resolución 
 
Primer procedimiento 
 
En la figura se muestra el diagrama de cuerpo libre 
del collarín en una posición cualquiera. x es la de-
formación del resorte y es variable, como es variable 
la dirección  . 
 
El trabajo de la tensión del resorte es: 
 
  dsxdsxU
B
A
B
A    cos200cos200  
 
En la figura se establece la relación entre dx, ds y . 
 
ds
dx
cos  
 
por tanto 

2
1
200 xdxU  
Como las longitudes inicial y final del resorte son 0.5 
y 0.3 m, y su longitud natural es 0.2 m, las defor-
maciones son 3.01 x  m y 1.02 x  m. 
 
   08.01001.03.0100
2
200200
22
3.0
1.0
2
3.0
1.0







 
U
x
xdxU
 
 
mkg8 U  
 
200x 
N 
 
ϴ 
dx 
ds 
ϴ 
0.5 
0.3 
0.5 
5 
         Trabajo e impulso 
 
 
 
90
Como la tensión del resorte es la única fuerza que 
trabaja, empleando la fórmula del trabajo y la energía 
cinética se tiene: 
 
 
 
5
)81.9(16
0
81.9
5
2
1
8
2
1
2
22










B
B
AB
v
v
vvmU
TU
 
 
s
m60.5Bv  
 
 
Segundo procedimiento 
 
Si sabemos que el trabajo que realiza un resorte es: 
 2122
2
1
xxkU   
 
entonces 
 
   
 
2
222
222
1
2
2
81.9
5
8
81.9
5
3.01.0200
2
1
2
1
B
B
AB
v
v
vvmxxk



 
 
s
m60.5Bv  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                                                                           Trabajo e Impulso 
 
 
91 
 
 
 6. El collarín de la figura tiene un peso de 10 
lb y reposa sobre el resorte al que está unido. La 
constante de rigidez del resorte es k = 20 lb/ft. La 
clavija por la que pasa la cuerda es lisa. A dicha cuer-
da se le aplica una fuerza constante de 200 lb para 
levantar a collarín a la posición B de la barra lisa. De-
termine la rapidez con que el collarín llega a B. 
 
 
 
 
Resolución 
 
Considerando el conjunto de los cuerpos como un 
sistema, las fuerzas externas que trabajan son la 
fuerza F, el peso del collarín y la fuerza del resorte. 
Calcularemos el trabajo que realiza cada una de ellas. 
 
Fuerza constante F de 200 lb 
 
El tramo de cuerda que se halla originalmente entre la 
polea y el collarín mide 13 ft. Al final, el tramo se 
reduce a 5 ft. Por tanto, el desplazamiento de la fuerza 
es de 8 ft.  
    tsFU F flb16008200   
 
Peso del collarín 
 
Como el desplazamiento del collarín tiene el sentido 
contrario del peso, el trabajo que realiza es negativo. 
 
    ftlb1201210  hPU P  
 
Fuerza del resorte 
 
Como el collarín reposa inicialmente sobre el resorte, 
lo deforma una longitud tal que 1020 1 x ; o sea 
ftx 5.01  . Al final, el resorte estará estirado una 
longitud ft5.115.0122 x . 
 
    222122 5.05.1120
2
1
2
1
 xxkU K  
5 
12 13 
10 
kx = 20x1 
         Trabajo e impulso 
 
 
 
92
ftlb1320 KU  
 
Empleando la fórmula del trabajo y la energía ciné-
tica: 
 
 
 
 
10
2.32320
0
2.32
10
2
1
160
2
1
13201201600
2
2
22










B
B
AB
v
v
vvm
TU
 
 
s
ft1.32Bv  
 
 
 
                                                                                                                           Trabajo e Impulso 
 
 
93 
3.2    Trabajo, energía cinética y energía potencial 
 
 
 7. Un competidor de snowboard de 70 kg de 
peso, se deja caer desde el punto A de la superficie 
semicilíndrica que se muestra en la figura. Despre-
ciando el tamaño del competidor y toda fricción, diga 
cuál es la energía potencial gravitacional que pierde el 
competidor al llegar al fondo B y con qué rapidez 
llega a esa posición. 
 
 
 
Resolución 
 
El competidor pierde energía potencial gravitacional, 
puesto que el punto B está más bajo que A. 
 
 
   2747481.970 

Vg
hPVg
 
 
mN2750 Vg  
 
Las únicas fuerzas que actúan durante el movimiento 
son el peso y la reacción normal. 
 
Se produce un intercambio entre la energía cinética y 
la potencial gravitacional. 
 
   
  
 
70
22747
02747070
2
1
0
2
1
0
2
2
22




B
B
AB
v
v
hPvvm
VgT
 
 
s
m86.8Bv  
 
 
 
 
70 (9.81) 
n 
N 
t 
         Trabajo e impulso 
 
 
 
94
8. El carrito de 500 lb de un juego de feria 
pasa por el punto A con una rapidez de 20 ft/s. 
Sabiendo que la altura h es de 30 ft y el radio del 
bucle es de 10ft, calcule la rapidez con que el carrito 
pasa por la cima B del bucle circular de la vía, y la 
fuerza que ésta ejerce sobre aquél en dicha posición. 
Calcule también cuál debe ser la mínima altura h a la 
que debe soltarse para que el carrito alcance la 
mencionada cima.  
 
 
Resolución 
 
Utilizaremos la fórmula de la conservación de la ener-
gía para calcular la rapidez con que el carrito pasa por 
B. 
 
    0
2
1
0
2
1
2
2 

hPvvm
VgT
 
 
observamos que h es negativa y de 30-2(10) = 10 
 
   
1044
644400
01050020
2.32
500
2
1
2
2
2
2
22
2








v
v
v
 
 
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre del carrito al 
pasar por B y elegimos un sistema de referencia 
intrínseco. 
 









10
1044
2.32
500
500
2.32
500
500
2
N
v
N
maF nn

 
 
 lb1121N  
 
Para calcular la altura h mínima de la que debe 
soltarse el carrito para que recorra el bucle completo, 
500 
t 
n 
N 
t 
500 
n 
                                                                                                                           Trabajo e Impulso 
 
 
95 
dibujaremos el diagrama de cuerpo libre y 
calcularemos la rapidez con que debe pasar por B. 
 
322
102.32
500
500
2
2



v
v
maF nn
 
 
Con la fórmula de la conservación de la energía, 
tomando en cuenta que hh  20  
 
   
   
 
520
0205
05000322
2.32
500
2
1
0
2
1
0
2
1
2
2










h
h
h
hPvvm
VgT
 
 
ft25h  
         Trabajo e impulso 
 
 
 
96
 
 9. Los cuerpos de la figura están inicialmente 
en reposo. Las masas de A y B son 10 y 15 kg, res-
pectivamente, mientras que la de la polea es despre-
ciable. Calcule la rapidez de los cuerpos cuando se 
hayan desplazado 0.5 m y la tensión de la cuerda. 
 
 
 
  
Resolución 
 
Entre la posición inicial y la final hay cambio tanto de 
la energía cinética como de la energía potencial del 
sistema, en el cual se incluyen los dos cuerpos, la 
polea y la cuerda. Las rapideces de A y B son  iguales. 
 
 
   
    222
222
5.715
2
1
0
2
1
510
2
1
0
2
1
0
vvvmT
vvvmT
VgT
BB
AA



 
 
   
   
5.12
53.24
53.245.12
058.7305.495.75
58.735.081.915
05.495.081.910
2
22





v
v
vv
hmgVg
hmgVg
B
A
 
 
s
m401.1v  
 
Para determinar la tensión de la cuerda, podemos 
aislar cualquiera de los cuerpos. Elegimos el cuerpo 
A. dibujamos su diagrama de cuerpo libre. 
 
10 g 
T 
y 

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