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2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
107 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal. 
1. Una pelota de béisbol de 273g se mueve hacia el bateador con una velocidad de 13.4 m/s, y al ser bateada, 
sale en dirección contraria con una velocidad de 26.8 m/s. Encuentre el impulso y la fuerza media 
ejercida sobre la pelota si el bate estuvo en contacto con la pelota por un lapso de 0.01 s. 
 
SOLUCIÓN 
Supongamos que la pelota inicialmente se mueve hacia la izquierda, y posteriormente hacia la derecha, vea la 
figura 163. 
 
El impulso está dado por el cambio (o la variación) del impulso, o sea,  
 
I = ∆p 
 I = mvFINAL – mvINICIAL 
 
Si el sistema de referencia lo consideramos positivo hacia la derecha, entonces la velocidad inicial, V1, será 
negativa, y la velocidad final, V2, será positiva. 
 
 I = (0.273kg)[26.8 – (- 13.4)]m/s 
      I = 10.97 Ns 
 
 
2. Un hombre de 75 kg salta desde una altura de 5 m a una piscina, y transcurre un tiempo de 0.45 s para 
que el agua reduzca la velocidad del hombre a cero. ¿Cuál fue la fuerza promedio que el agua ha ejercido 
sobre el hombre? 
 
SOLUCIÓN 
La figura 164 muestra un gráfico que representa la situación descrita en el enunciado del 
problema. Calcularemos primero la magnitud de la velocidad con la que el clavadista 
ingresa al agua, utilizando el teorema de conservación de la energía mecánica. 
 
 
( )( )
smv
msmv
ghv
mvmgh
EE FINALINICIAL
/90.9
5/8.92
2
2
1
2
2
=
=
=
=
=
 
 
Utilizamos, luego, la ecuación que relaciona al impulso y el cambio de la cantidad de 
movimiento lineal. 
 
  I = ∆p 
F∆t = m(vFINAL – vINICIAL) 
 
Debido a que el sistema de referencia lo consideramos positivo verticalmente hacia arriba, la velocidad final 
es cero y la inicial es – 9.90 m/s. 
 
( )
( )[ ]
s
smjkg
F
t
vvm
F INICIALFINAL
45.0
/ˆ90.9075 −−
=
∆
−
=
 
V1 = 13.4 m/s V2 = 26.8 m/s
Figura 163 
5 m
Figura 164 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
108 
 
[ ]NjF ˆ1650=  
 
 
3. Una fuerza de impulso unidimensional actúa sobre un objeto de 2 kg como se muestra en la figura 165. 
Encuentre el instante en que la velocidad de la partícula es cero, si tenía al tiempo t = 0 una velocidad de 
– 6.0 m/s. 
SOLUCIÓN 
En un gráfico Fuerza versus tiempo, el área representa el impulso aplicado sobre la partícula, por tanto 
utilizaremos primero la definición de Impulso, y a partir de allí relacionamos con el área que abarque hasta 
una velocidad de cero, y posteriormente de 20 m/s. 
 
I = ∆p 
 I = mvFINAL – mvINICIAL 
 
Debido a que el área representa el impulso, tenemos que 
 
A = – mvINICIAL 
A = - (2kg)(- 6m/s) 
A = 12 Ns 
 
El área de la figura es ½(base*altura)= Ft/2 
Por lo tanto Ft = 2(12 Ns) = 24 Ns 
 
La figura 166 muestra que desde t = 0 hasta t = 0.02 s la figura geométrica es un 
triángulo, cuya área es 22.5 Ns, por lo que podemos concluir que el tiempo en el que se 
alcanza el reposo es menor a 0.05 s, este valor lo hallaremos utilizando el criterio de los 
triángulos semejantes. A continuación se muestra la relación entre F y t, a partir de los 
datos presentes en la figura 4 
tF
t
F
18000
05.0
900
=
=  
 
Reemplazamos el último resultado obtenido en la ecuación anterior 
 
Ft = 24 Ns 
(18000t)t = 24 
 
t = 0.036 s 
 
 
Figura 165 
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10
0.
12
0.
14
0.
16
t(s)
F(N)
200
400
600
800
1000
1200
0.05
t
900
F
Figura 166 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
109 
4. Una pelota de masa 0.1 Kg se suelta desde una altura de 2 m y, después de chocar con el suelo, rebota 
hasta 1.8 m de altura. Determinar la cantidad de movimiento justo un instante antes de llegar al suelo y el 
impulso recibido al chocar con el suelo. 
 
SOLUCIÓN 
El gráfico mostrado en la figura 167, representa la caída de la pelota y la altura a la que llegó después del 
rebote. 
 
Las velocidades v1 y v2 las calcularemos por medio de la conservación 
de la energía, colocando como nivel de referencia el piso (si usted 
prefiere calcular las velocidades por medio de las ecuaciones de 
cinemática, lo puede hacer obteniendo el mismo resultado). 
 
CÁLCULO DE V1. 
EINICIAL = EFINAL 
mgh1 = ½ mv12 
( )( )
smv
msmv
ghv
/26.6
2/8.92
2
1
2
1
11
=
=
=
 
 
CÁLCULO DE V2. 
EINICIAL = EFINAL 
½ mv22 = mgh2 
( )( )
smv
msmv
ghv
/94.5
8.1/8.92
2
2
2
2
22
=
=
=
 
 
La pelota tiene una cantidad de movimiento lineal que es igual a  
 
vmp
rr =   
( )( ) smjkgp /ˆ26.61.0 −=r  
 
p
r  =  – 0.626 ĵ  Ns  
 
El impulso dado a la pelota está dado por 
 
I
r  = p
r∆  
I
r
 = m( 12 vv − ) 
I
r
 = 0.1kg[(-5.94 ĵ ) – (- 6.26 ĵ )]m/s 
 
I
r
 = 0.032 ĵ  Ns 
 
5. Un cuerpo de 0.10 Kg de masa cae desde una altura de 3 m sobre un montón de arena. Si el cuerpo 
penetra 3 cm antes de detenerse, ¿qué fuerza constante ejerció la arena sobre él? 
 
SOLUCIÓN 
El gráfico presentado en la figura 168, representa esquemáticamente el 
enunciado del problema. 
Calcularemos primero la velocidad que lleva la partícula justo un instante 
antes de hacer contacto con la arena. 
El nivel de referencia que tomaremos es el del piso (arena). 
 
( )( )
smv
msmv
ghv
mvmgh
EE FINALINICIAL
/67.7
3/8.92
2
2
1
2
2
=
=
=
=
=
 
2 m
1.8 m
V1
V2
Figura 167 
3 m
Figura 168 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
110 
  
De acuerdo a la referencia que estamos utilizando (positiva verticalmente hacia arriba), la velocidad es (- 
7.67 ĵ )m/s 
Para el ejercicio asumimos una fuerza constante, por lo tanto, también una aceleración constante. Para 
calcular el valor de la fuerza que detiene al cuerpo podemos utilizar la definición de impulso, o la segunda ley 
de Newton. Para el presente problema utilizaremos la definición de impulso. 
 
I
r   = p
r∆  
tF∆  = m( 12 vv − ) 
 tF∆  = (0.10kg)[0 – (-7.67 ĵ )]m/s 
 
EL intervalo de tiempo en el que ocurre el frenado del cuerpo lo podemos calcular por la ecuaciones del 
movimiento rectilíneo uniformemente variado. 
 
( )
( )
st
sm
t
vv
y
t
t
vv
y
f
f
078.0
/67.70
03.02
2
2
0
0
=∆
−
−=∆
+
∆=∆
∆





 +
=∆
 
 
Por lo tanto la fuerza media para detener al cuerpo una vez haya recorrido 3 cm en la arena es: 
 
( )( )
( )s
smjkg
F
078.0
/ˆ67.710.0 −=  
 
F = 9.83 ĵN 
 
6. Un astronauta de 80 kg queda varado en el espacio a 30 m de su nave. A fin de retornar a ella, lanza una 
llave de 0.5 kg con una rapidez de 20 m/s en dirección opuesta a donde se encuentra la nave. ¿Cuánto 
tiempo le toma al astronauta en llegar hasta donde se encuentra la nave? 
 
SOLUCIÓN 
Si en un sistema de partículas no actúan las fuerzas externas, la cantidad de movimiento lineal permanece 
constante, esto es, la cantidad de movimiento lineal inicial es igual a la cantidad de movimiento final. 
 
FINALINICIAL pp =  
mLLAVEvLLAVE + MASTRONAUTAVASTRONAUTA = mLLAVEvLLAVE FINAL + MASTRONAUTAVASTRONAUTA FINAL 
0 + 0 = (0.5kg)(20m/s) + (80kg)(VASTRONAUTA FINAL) 
10kg m/s = - 80kg(VASTRONAUTA FINAL) 
 
VASTRONAUTA FINAL = - 0.125 m/s 
 
El signo negativo representa que el astronauta de mueve en dirección opuesta a la dirección en que se lanzó 
la llave. 
 
7. ¿Qué impulso sobre una masa de 2 kg le provoca una cambio en su cantidad de movimiento de 50 Ns? 
a. 25 Ns 
b. 50 Ns 
c. 100 Ns 
d. – 25 Ns 
e. – 50 Ns 
 
SOLUCIÓN 
Sabemos que el impulso es igual precisamente al cambio de la cantidad de movimiento lineal, por lo tanto el 
impulso que provoca un cambio de 50 Ns en la cantidad de movimiento es también 50 Ns. Respuesta: b). 
 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
111 
8. Una bola de tenis de 180 g lleva una rapidez horizontal de 15 m/s cuando es golpeada por la raqueta. Si 
luego del impacto la pelota viaja en una dirección de 25º con la horizontal, y alcanza una altura de 10 m, 
medida a partir de la altura de la raqueta, determine el impulso neto de la raqueta sobre la bola. 
Desprecie el peso de la bola durante el impacto. 
a. - 8.5 Ns; - 17º 
b. 17 Ns; 22º 
c. 8.5 Ns; 17º 
d. 10.2 Ns; 35º 
e. 23.1 Ns; 14º 
 
SOLUCIÓN 
la figura 169 representa la situación que ocurre antes del 
impacto de la pelota con la raqueta, y posterior al 
impacto. El impulso es igual al cambio de la cantidad de 
movimiento lineal, o sea,  
 
I
r  = p
r∆  
 
Para calcular el impulso necesitamos conocer cuál fue la 
velocidad con la que la pelota salió de la raqueta, un 
instante posterior al impacto con ella; este cálculo lo 
realizamos por medio de las ecuaciones del movimiento 
rectilíneo uniformemente variado. 
 
( )( )
smv
msmv
yavv
y
y
yyfy
/14
10/8.920
2
22
2
0
2
=
−=
∆+=
 
 
Por lo tanto el valor de v lo calculamos sabiendo que  
 
vY = vsen25º ⇒ v = 14/sen25º = 33.13 m/s 
( )0vvmI f −=  
 
La figura 8 muestra a los vectores velocidad, y al vector cambio de velocidad. El cambio de la velocidad lo 
obtenemos por medio de la ley del coseno 
 
( )( )
smv
v
/15.47
º155cos13.3315213.3315 22
=∆
−+=∆  
 
El ángulo que forma el cambio en la velocidad, ∆v, y por consiguiente el impulso lo calculamos por medio de 
la ley del seno. 
 
º27.17
15.47
º15513.33
15.47
º155
13.33
1
=





=
=
−
ϕ
ϕ
ϕ
Sen
sen
SenSen
 
 
Reemplazando los valores obtenidos para el cambio en la velocidad, y el ángulo que forma éste con la 
horizontal, en la ecuación que relaciona el impulso y el cambio en la cantidad de movimiento lineal tenemos 
que  
 
I = 0.180 kg(47.15)m/s; 17.27º 
I = 8.49 Ns; 17.27º 
 
Respuesta: c 
 
15 m/s
10 mv
Figura 375 
v0 = 15 m/s
25º
v f =
 33
.13
 m
/s∆v
155ºϕ 
Figura 169 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
112 
9. La fuerza que actúa sobre una partícula de 6 kg varía con la posición como se muestra en la figura 170. Si 
la rapidez en x = 3 m es 2 m/s, encuentre el impulso a los 15 m. 
 
SOLUCIÓN 
Para un gráfico Fuerza versus posición, la región (el área) debajo de la curva representa el trabajo neto 
realizado sobre la partícula a la que representa el gráfico. Además del teorema de trabajo energía sabemos 
que el trabajo neto es igual al cambio de la energía cinética, hecho con el que podemos calcular la velocidad 
de la partícula a los 15 m. 
En la figura 171 se muestra que el trabajo neto está dado por la 
suma de las áreas A1 y A2, pero para hacer el cálculo respectivo 
hace falta determinar los valores de v y t, valores que 
determinaremos por medio de los triángulos semejantes. 
 
Para calcular v tenemos 
 
smv
v
/6
6
3
12
−=∴
=  
 
Para calcular t se presenta la relación entre los lados del triángulo, 
formado por la recta de pendiente positiva y las líneas punteadas 
 
st
t
tt
t
t
5.10
12126
126219
6
21
9
=
=
−=
−=
 
 
Por tanto el trabajo neto será igual a 
 
( ) ( )
[ ]JW
Nm
Nm
W
altura
menorbasemayorbasealturabase
W
AAW
NETO
NETO
NETO
NETO
75.51
9
2
5.49
2
63
22
21
=
×




 ++−×=
×




 ++×=
+=
 
 
Por lo tanto la velocidad de la partícula cuando esté en la posición x = 15 m está dada por 
 
WNETO = ∆K 
WNETO = ½ m(vf2 – v02) 
51.75 [J] = ½ (6 kg)vf2 – ½ (6 kg)(2m/s)2 
vf = 4.61 m/s 
 
Por lo tanto el impulso será 
Figura 170 
6 15
x(m)
Fx(N)
- 12
9
0
6 15
x(m)
Fx(N)
- 12
9
0
3
v
tA1
A2
Figura 171 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
113 
 
I
r  = p
r∆  
 I
r  = m( 12 vv − ) 
 I
r  = (6 kg)(4.61 – 2) m/s 
 
 I
r  = 15.66 Ns 
 
10. Un proyectil de 50 g impacta sobre un árbol con rapidez de 200 m/s y penetra perpendicularmente 10 cm 
hasta detenerse. Calcular la fuerza promedio que ejerce el árbol sobre el proyectil. ¿Cuánto tiempo tarda 
en penetrar esa longitud? (Examen parcial de Física I, I término 2001 – 2002) 
 
SOLUCIÓN 
Sabemos que el impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento lineal, y al mismo tiempo es igual al 
producto de la fuerza promedio por el intervalo de tiempo que ha demorado la penetración del proyectil en el 
árbol. 
 
I
r   = p
r∆  
tF∆  = m( 12 vv − ) 
  
El intervalo de tiempo, ∆t, podemos calcularlo utilizando las ecuaciones del movimiento rectilíneo 
uniformemente variado, asumiendo que la desaceleración del proyectil es constante. 
 
( )
sm
m
t
vv
x
t
t
vv
x
f
f
/200
1.02
2
2
0
0
=∆
+
∆
=∆
∆




 +
=∆
 
 
∆t = 0.001 s 
 
La fuerza promedio será, entonces, 
 
( )
( )( )
s
smkg
F
t
vvm
F
001.0
/200005.0
12
−
=
∆
−
=  
   F = 10 kN 
 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
114 
11. Un proyectil de 10 g es disparado con una velocidad de 75.2 m/s a un ángulo de 34.5º por encima de la 
horizontal, a lo largo de un campo de tiro plano. Encuentre el impulso después de 1.50 s haber sido 
disparado el proyectil. 
SOLUCIÓN 
Para encontrar el impulso necesitamos calcular la velocidad 
de la partícula cuando ha pasado 1.50 s. La figura 172 muestra 
la trayectoria de la partícula 
La velocidad de la partícula en el eje x es constante y está 
dada por 
 
Vx = (75.2m/s)(Cos 34.5º) = 62.0 m/s 
 
En el eje de las y el movimiento es uniformemente variado, 
por tanto la velocidad en el eje de las y, cuando han 
transcurrido 1.5 s es 
 
Vy = V0y + ayt 
Vy = (75.2m/s)(Sen 34.5º) + (-9.8 m/s2)(1.5s) 
Vy = 27.9 m/s 
 
Por lo tanto la velocidad total para t = 1.5 s está dada por 
 
smv
v
vvv YX
/68
9.270.62 22
22
=
+=
+=
 
 
El ángulo que forma con la horizontal es 
 
º2.24
0.62
9.271
=





=
=
−
φ
φ
φ
Tan
v
v
Tan
x
y
 
 
En la figura 173 se muestran ambos vectores velocidad, la velocidad inicial y la final. Con estos dos vectores 
calculamos el cambio de la velocidad y posteriormente el impulso. 
 
El ángulo entre los vectores es de 10.3º, sale de la diferencia de los ángulos que 
forma cada vector con el eje horizontal. El cambio en la velocidad, ∆v, lo 
calculamos por medio de la ley de los cosenos. 
 
( )( )
smv
v
/62.142
º3.10cos682.752682.75 22
=∆
++=∆  
 
El ángulo que forma el vector cambio de la velocidad, ∆v, con el vector 
velocidad final, vf, lo calculamos por medio de la ley del seno. 
 
º42.5
32.142
º7.1692.75
62.142
º7.169
2.75
1
=





=
=
−
ϕ
ϕ
ϕ
Sen
Sen
SenSen
 
 
Por lo tanto el impulso será igual a : 
I
r  = p
r∆  
I
r  = m (∆ v )  
I
r  = (0.01kg)(142.62 m/s); 29.62º  
 
x
y
V0
V0Y
V0X
V
Figura 172 
V0
Vf
∆v 
10.
3º
Figura 173 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
115 
29.62º es el resultado de la suma del ángulo que forma el vector vf con la horizontal, 24.2º con el ángulo que 
forma el vector vf con el cambio de la velocidad 
 
I
r  = 1.43 Ns; 29.62º 
 
 
12. Un tanque de guerra de masa 3000 kg se mueve con una velocidad de 10 m/s. Lanza una granada de 10 
kg con una velocidad de 600 m/s en la misma dirección de su movimiento. ¿Cuál es la nueva velocidad 
del tanque? 
 
SOLUCIÓN 
Utilizamos la conservación de la cantidad de movimiento lineal antes de que el tanque lance la granada. 
 
PSISTEMA antes = PSISTEMA después 
mTANQUEv1TANQUE + mGRANADAv1GRANADA = mTANQUEv2TANQUE + mGRANADAv2GRANADA 
 
Antes de que se lanzara sólo el tanque tenía movimiento. 
 
mTANQUEv1TANQUE + 0 = mTANQUEv2TANQUE + mGRANADAv2GRANADA 
( )( ) ( )( )
kg
smkgsmkg
v
m
vmvm
v
TANQUE
TANQUE
GRANADAGRANADATANQUETANQUE
TANQUE
3000
/60010/103000
2
21
2
−=
−
=  
v2TANQUE = 8 m/s 
  
13. Un proyectil de 10 g es disparado horizontalmente contra un bloque de madera de 4 kg, inicialmente en 
reposo en una superficie horizontal. El proyectil tiene una velocidad de 500 m/s un instante antes de 
penetrar al bloque, y sale de él con una velocidad de 200 m/s. El bloque desliza 10 cm antes de detenerse. 
Encuentre el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. 
 
SOLUCIÓN 
La figura 174 muestra la situación expuesta en el 
enunciado del problema. 
Utilizamos la conservación de la cantidad de 
movimiento lineal para determinar la velocidad con la 
que el bloque sale del reposo, después del impacto con el 
proyectil. 
 
 
 
 
PSISTEMA antes = PSISTEMA 
después 
mPROYECTILv1PROYECTIL + mBLOQUEv1BLOQUE = 
mPROYECTILv2PROYECTIL + mBLOQUEv2BLOQUE 
mPROYECTILv1PROYECTIL + 0 = mPROYECTILv2PROYECTIL + mBLOQUEv2BLOQUE 
(0.01kg)(500m/s) = (0.01kg)(200m/s) + 4kg(v2BLOQUE) 
v2BLOQUE = 0.75 m/s 
 
A partir de este momento utilizamos el teorema general de energía y trabajo. 
 
WFNC = EFINAL – EINICIAL  
- fkd = 0 – ½ mBLOQUEv22BLOQUE 
µmBLOQUEgd = ½ mBLOQUEv22BLOQUE 
µ(9.8m/s2)(0.1m)= ½ (0.75m/s)2 
 
µ = 0.287 
 
Figura 174 
v =  500 m/s
v =  200 m/s
vBLOQUE
10 cm
Antes de la colisión
Después de la colisión
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
116 
14. Una bala de 10 g se mueve hacia un péndulo de 0.8 kg que se encuentra en reposo. Si la bala queda 
empotrada en el péndulo, y el sistema péndulo – bala sube hasta una altura de 45 cm, encuentre la 
velocidad de la bala antes de entrar al péndulo. 
 
SOLUCIÓN 
En la figura 175 se encuentran los datos que se enuncian en 
el problema. Primero calculamos la magnitud de la 
velocidad que el sistema bala – péndulo adquirirá posterior 
a la colisión, mediante la conservación de la energía. 
 
EINICIAL = EFINAL 
½ mSISTEMAV2 = mSISTEMAgh 
½ V2 = (9.8m/s2)(0.45m) 
V = 2.97 m/s 
 
Posterior a esto, la velocidad de la bala, antes de la colisión 
con el péndulo, podemos calcularla por medio de la 
conservación de la cantidad de movimiento lineal. 
 
PSISTEMA antes = PSISTEMA después 
mBvB + mBLvBL = (mB + mBL)V 
(0.01kg)vB + 0 = (0.01 + 0.8)kg(2.97m/s) 
 
vB = 240.56 m/s 
 
 
15. Una esfera de masa m, suspendida como se muestra en la figura 176, se 
suelta desde una altura h y golpea a una masa M, inicialmente en 
reposo sobre una superficie horizontal sin fricción, cuando alcanza el 
punto más bajo de su trayectoria. Encuentre la velocidad V de la masa 
M y la velocidad v de la masa m, inmediatamente después del impacto, 
suponiendo que la colisión es perfectamente elástica. 
 
 
SOLUCIÓN 
Si la colisión es elástica, se conserva la cantidad de movimiento lineal y la 
energía cinética del sistema, antes y después de la colisión. El coeficiente de 
restitución para una colisión elástica es igual a 1. Recuerde que el 
coeficiente de restitución, e, es la relación de las velocidades relativas antes 
y después de la colisión entre las partículas, o sea, 
11
22
BA
AB
vv
vv
e
−
−
=  
 
donde vB2 es la velocidad de la partícula B después de la colisión, vB1 es la velocidad de la partícula B antes de 
la colisión, vA2 es la velocidad de la partícula A después de la colisión, y vA1 es la velocidad de la partícula A 
antes de la colisión. Para los datos del problema tenemos 
( )1
0
1
1
1
vVv
v
vV
m
m
−=
−
−=  
 
Por conservación de la cantidad de movimiento lineal tenemos 
 
mvm1 + MvM1 = mv + MV 
mvm1 + 0 = mv + MV 
mvm1 = mv + MV 
 
Dividimos la ecuación anterior por m 
 
vm1 = v + (M/m)V (2) 
 
Sumamos las ecuaciones (1) y (2) 
 
vm1 = - v +      V 
Figura 176 
m
h
M
Antes de la
colisión
h = 0.45 m
Después de la
colisión
θ
VSISTEMA
Figura 175 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
117 
vm1 =   v + (M/m)V 
      
2 vm1 = (1 + M/m)V  (3) 
 
Ahora, calculamos la velocidad de la esfera, vm1, justo un instante antes de que colisione con el bloque, por 
medio de conservación de la energía. 
EINICIAL = EFINAL 
mgh = ½ mv2m1 
ghvm 21 =  
 
Reemplazando este valor en la ecuación (3) tenemos 
 
V
m
Mm
gh
V
m
M
gh





 +=





 +=
22
122  
 
 gh
Mm
m
V 2
2






+
=   
 
Y el valor de la velocidad v lo obtenemos reemplazando estos dos últimos valores en la ecuación (1) 
 
( )






+
+−=





 −
+
=
−





+
=
−





+
=
Mm
Mmm
ghv
Mm
m
ghv
ghgh
Mm
m
v
vgh
Mm
m
gh
2
2
1
2
2
22
2
2
2
2
 
 
 gh
Mm
Mm
v 2





+
−=   
 
 
16. Una bala de masa m y velocidad v atraviesa al péndulo de masa M y sale con una velocidad de ½ v, como 
se muestra en la figura 177. La cuerda que sostiene al péndulo tiene una longitud L. Calcule el valor 
mínimo de v para que el péndulo describa un círculo completo. 
 
Figura 177 
M
v v/2
L
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
118 
SOLUCIÓN 
Para que el péndulo complete justo una vuelta, la velocidad en el punto más alto de la 
trayectoria circular es la denominada velocidad crítica, en este punto actúa solamente el 
peso sobre la esfera, observe la figura 178. 
 
gLV
L
MV
Mg
maFy C
=
=
=∑
2
2  
 
Por medio de la conservación de la energía calculamos la velocidad con la que la esfera inicial el movimiento 
circular, posterior a la colisión con la bala. 
 
EINICIAL = EFINAL 
½ MV02 = Mgh + ½ MV2 
V02 = 2g(2L) + V2 
V02 = 4gL + gL 
gLV 50 =  
 
Para calcular el valor de v utilizamos la conservación de la cantidad de movimiento lineal. 
 
mv + MV1 = m(v/2) + MV0 
mv – m(v/2) = M gL5  
gLMmv 5
2
1 =  
 
 gL
m
M
v 5
2=    
 
 
17. Los bloques A y B de la figura 179 chocan bajo las siguientes condiciones: a) En el primer choque B está 
en reposo mientras A se mueve hacia la derecha con una rapidez de 6 m/s; después de choque A rebota 
con una rapidez de 2 m/s mientras que B se mueve hacia la derecha con una rapidez de 4 m/s. b) En el 
segundo choque B está en reposo y A se carga con una masa de 3 kg y se dirige hacia B con una rapidez de 
6 m/s; después del choque A queda en reposo y B se mueve hacia la derecha con una rapidez de 8 m/s. 
Encuentre la masa de cada bloque. 
 
SOLUCIÓN 
En el primer choque tenemos la siguiente situación 
 
mAvA + mBvN = mAVA + mBVB 
6mA = - 2mA + 4mB 
8mA = 4mB  
2mA = mB 
 
En la segunda colisión se presenta la siguiente situación 
 
mAvA + mBvN = mAVA + mBVB 
6(mA + 3) =   8mB 
3mA + 9 = 4mB 
4mB - 3mA = 9 
4(2mA) - 3mA = 9 
 
mA = 1.8 kg 
 
mB = 3.6 kg 
Figura 179 
A B
M
L
M
Mg
V0
V
Figura 178 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
119 
 
18. Una esfera de 5 kg que se está moviendo a 6 m/s golpea a otra de 4 kg que está en reposo y continúa en la 
misma dirección a 2 m/s. Encuentre: 
a. La velocidad de la bola de 4 kg después del choque. 
b. El coeficiente de restitución. 
 
SOLUCIÓN 
La figura 180 muestra la situación presentada en el enunciado del 
ejercicio. 
a) Utilizamos la conservación de la cantidad de movimiento lineal 
para la situación presentada 
mAvA + mBvN = mAVA + mBVB 
(5kg)(6m/s) + (4kg)(0) = (5kg)(2m/s) + (4kg)(V) 
 
V = 5 m/s 
 
b) El coeficiente de restitución, e, es la relación (cociente) entre la 
velocidad relativa final y la velocidad relativa inicial entre las dos 
partículas 
 
0/6
/2/5
−
−=
−
−=
sm
smsm
e
vv
VV
e
BA
AB
 
 
 5.0=e   
 
 
19. Entre dos cuerpos, uno de 30 kg que se está moviendo a 3 m/s a la derecha y el otro de 15 kg que se 
mueve a 6 m/s a la izquierda, ocurre un choque frontal directo. Si el coeficiente de restitución es e = 0.6 y 
el tiempo que dura el choque es de 0.02 s, determine la fuerza de choque promedio. 
 
SOLUCIÓN 
Para determinar la fuerza promedio de choque, necesitamos calcular el impulso, y para ello necesitamos las 
velocidades posteriores al choque ocurrido. Utilizaremos la conservación de la cantidad de movimiento lineal 
y el coeficiente de restitución. En la figura 181 se muestra una representación de la situación presentada. 
 
mAvA + mBvN = mAVA + mBVB 
30kg(3m/s) + 15kg(-6m/s) = mAVA + mBVB 
0 = 30VA + 15VB 
VB = - 2VA (1) 
 
( )
( )24.5
63
6.0
AB
AB
BA
AB
VV
VV
vv
VV
e
−=
−−
−=
−
−=
 
 
Reemplazamos la ecuación (1) en la (2) 
 
5.4 = - 2VA – VA 
VA = -1.8 m/s 
 
VB = 3.6 m/s 
 
Para calcular la fuerza promedio en la colisión utilizamos la definición de impulso y la relación que existe 
entre éste y el cambio de la cantidad de movimiento lineal. 
 
F∆t = I 
F∆t = ∆p 
F∆t = m(VFINAL – VINICIAL) 
F(0.02s) = 30kg(-1.8–3)m/s 
VA1 = 6 m/s
VB1 = 0 m/s
Antes de la colisión
VA2 = 2 m/s VB2
Después de la colisión
A
A
B
B
Figura 180 
A
VA1 = 3 m/s VB1 = 6 m/s
Antes de la colisión
VA2 VB2
Después de la colisión
A
B
B
Figura 181 
2.4. Conservación de la cantidad de movimiento lineal 
ELABORADO POR: JULIO CESAR MACIAS ZAMORA 
120 
F = - 7200 N 
 
Si calculamos para la segunda partícula 
 
F∆t = m(VFINAL – VINICIAL) 
F(0.02s) = 15kg[3.6–(-6)]m/s 
F = + 7200 N  
 
La razón para que en una partícula el valor de la fuerza promedio salga positiva, y en la otra salga negativa es 
porque la fuerza en un caso es la acción y en el otro es reacción, por tanto la magnitud de la fuerza promedio 
para ambas partículas es 
 
FPROMEDIO = 7200 N 
 
 
20. Se deja caer una pelota sobre el suelo desde una altura de 1.5 m y rebota hasta una altura de 1 m. 
Encuentre el coeficiente de restitución entre la pelota y el suelo. 
 
SOLUCIÓN 
La figura 182 muestra el instante en que la partícula cae desde 1.5 m y luego 
rebota hasta 1m. 
 
El coeficiente de restitución es la relación entre las velocidades relativas 
antes y después de la colisión entre dos partículas, o sea,  
 
11
22
TIERRAPELOTA
PELOTATIERRA
VV
VV
e
−
−
=  
 
En ambos casos, antes del choque y posterior a él, la tierra permanece 
inmóvil, por tanto VTIERRA2 y VTIERRA1 valen cero. Las velocidades de la 
pelota, tanto en la caída como en la subida, las podemos calcular por medio 
de las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado, o por 
la conservación de la energía. 
 
CAÍDA 
EINICIAL = EFINAL 
mgh1 = ½ mv2A1 
11 2ghvA −=  
 
SUBIDA 
EINICIAL = EFINAL 
½ mv2A2 = mgh2   
22 2ghvA +=  
 
Reemplazamos estos valores en la ecuación del coeficiente de restitución 
 
m
m
h
h
e
gh
gh
gh
gh
e
gh
gh
e
5.1
1
12
2
12
2
02
20
1
2
22
1
2
==
==
−−
−
=
 
 
 816.0=e   
 
1.5 m
1.0 m
VA1
VA2
Figura 182 

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