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TRABAJO Y ENERGIA: IMPULSO


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5.1 IMPULSO Transcripciones

Física Tema Página 1 
TRABAJO Y ENERGIA: 
IMPULSO 
 
 
 
Un paquete de 10 kg cae de una rampa con v = 3 m/s a 
una carreta de 25 kg en reposo, pudiendo ésta rodar 
libremente. Determinar: a) la velocidad final de la 
carreta, b) el impulso ejercido por la carreta sobre el 
paquete, c) la fracción de energía inicial que se pierde 
en el choque. 
 
 
Solución: I.T.I. 94 
 
Texto solución 
 
 
 
 
 
Un tren ligero formado por dos unidades va a 90 km/h siendo sus masas de 25 y 20 toneladas 
respectivamente. Cuando se aplican los frenos una fuerza constante de frenado de 30 kN se 
aplica a cada vagón. Determínese: a) el tiempo necesario para detener el tren, b) las fuerzas 
en la unión entre los vagones mientras dura la frenada. 
 
Solución: I.T.I. 99 
 
Texto solución 
 
 
30º 
Física Tema Página 2 
 
Un bloque de 20 kg, está inicialmente en reposo 
sobre una superficie horizontal, y se le aplica una 
fuerza F paralela a la superficie y que varia con el 
tiempo como indica la gráfica. Si no hay 
rozamiento determinar la máxima velocidad 
adquirida por el bloque. ¿Cuál es la velocidad en 
el instante t = 1.5 s?. Repetir el apartado anterior si 
el coeficiente de rozamiento µ  entre la superficie 
y el bloque es 0.25. 
 
 
Solución: I.T.I. 92, 98, 01, I.T.T. 01, 04 
 
Según la gráfica la fuerza aplicada sobre el bloque viene dada por (F en nuestro 
problema representa la componente de la fuerza en la dirección de movimiento. Todos 
los cálculos están expresados en unidades del sistema internacional): 
 
€ 
F t( ) =
100 − 350t 0 ≤ t ≤ 0.5
− 75 + 75 t− 0.5( ) 0.5 ≤ t ≤1.5
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 
 
Podemos calcular el instante 
€ 
t = ta  en que dicha fuerza se anula: 
 
€ 
F ta( ) = 0 ⇒ ta =
2
7 ≈ 0.286  
 
El impulso comunicado por la fuerza aplicada al bloque será (teniendo en cuenta que 
debe ser una función continua): 
 
€ 
I t( ) = F t( )dt
0
t
∫ =
100t −175t2 0 ≤ t ≤ 0.5
425
8
−
225
2
t + 75
2
t2 0.5 ≤ t ≤1.5
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
 
 
Una vez calculado el impulso podemos calcular la velocidad del bloque: 
 
€ 
v t( ) = I t( )m =
5t− 35
4
t2 0 ≤ t ≤ 0.5
85
32
−
45
8
t + 15
8
t2 0.5 ≤ t ≤ 1.5
⎧ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
La máxima velocidad la alcanzará cuando el impulso comunicado al bloque sea 
máximo. Esto ocurrirá cuando la fuerza F se anule, ya que a partir de dicho momento al 
tomar F valores negativos el impulso comunicado al bloque comenzará disminuir 
(también se podría calcular anulando la derivada). 
 
€ 
vmáx. = v ta( ) = 5ta −
35
4 ta
2 =  
€ 
5
7 m / s ≈ 0.714 m / s 
F(N) 
t(s) 
1.5 0.5 
–75 
100 
Física Tema Página 3 
 
 
En el instante final 
€ 
t = tb = 1.5  s la velocidad será: 
 
€ 
v tb( ) =
85
32 −
45
8 tb +
15
8 tb
2 =  
 
 
Si sobre el bloque actúa una fuerza de rozamiento ésta no va a impedir que el bloque sea 
puesto en movimiento ya que:   
€ 
 
F roz .est.máx. = µmg = 49N <
 
F t = 0( ) =100N . Una vez 
puesto el bloque en movimiento la fuerza de rozamiento será cinemática y su 
componente horizontal tomará un valor constante de –49 N (el enunciado no nos 
distingue entre coeficiente de rozamiento estático y cinemático). 
El análisis que vamos a hacer a continuación sólo será válido mientras el bloque se 
encuentre en movimiento. Si en algún momento el bloque se parase la fuerza de 
rozamiento que habría que considerar sería estática, con lo cual su valor ya no sería 
constante, pudiendo ser desde nula hasta el valor máximo considerado anteriormente. 
Incluso podría cambiar de sentido si el bloque llega en algún momento a invertir su 
movimiento. Teniendo en cuenta estas consideraciones, la primera expresión que 
podemos escribir para la fuerza total 
€ 
Ftotal = F + Froz.  que actúa sobre el bloque sería: 
 
€ 
Ftotal t( ) = 51− 350t 0 ≤ t ≤ 0.5 
(si no se incumplen las suposiciones iniciales) 
 
Podemos calcular el instante 
€ 
t = tc  en que dicha fuerza se anula: 
 
€ 
Ftotal tc( ) = 0 ⇒ tc = 0.146  
 
El impulso comunicado por la fuerza total al bloque: 
 
€ 
I t( ) = Ftotal t( ) dt
0
t
∫ = 51t −175t2 0 ≤ t ≤ 0.5 
(si no se incumplen las suposiciones iniciales) 
 
Una vez calculado el impulso podemos calcular la velocidad del bloque: 
 
€ 
v t( ) = I t( )m =
51
20 t−
35
4 t
2 0 ≤ t ≤ 0.5  
(si no se incumplen las suposiciones iniciales) 
 
La máxima velocidad la alcanzará cuando el impulso comunicado al bloque sea 
máximo. Esto ocurrirá cuando la fuerza total 
€ 
Ftotal  se anule, ya que a partir de dicho 
momento al tomar 
€ 
Ftotal  valores negativos el impulso comunicado al bloque comenzará 
disminuir. 
 
€ 
vmáx. = v tc( ) =
51
20 tc −
35
4 tc
2 =  
 
€ 
−
25
16 m / s ≈ –1.56 m / s  
€ 
0.186 m / s  
Física Tema Página 4 
Como hemos dicho al principio este análisis solo es válido mientras el bloque se 
encuentre en movimiento. Según la expresión anterior la velocidad se anulará en: 
 
€ 
v td( ) = 0 ⇒
51
20 td −
35
4 td
2 = 0 ⇒ td = 2tc = 0.291  
 
Por lo tanto las expresiones anteriores para 
€ 
Ftotal t( ) , 
€ 
I t( )  y 
€ 
v t( )  sólo son válidas hasta 
€ 
t = td = 0.291 . A partir de este momento el bloque permanecerá en reposo (las dos 
fuerzas se anulan entre sí) hasta que la fuerza F supere, en valor absoluto, la fuerza de 
rozamiento estática máxima de 49 N: 
 
€ 
F te( ) = Froz.est.máx. = 49N ⇒ 100 − 350te = 49N ⇒ te = 0.426  
 
A partir de este momento el móvil empieza a desplazarse hacia la izquierda sometido a 
una fuerza de rozamiento cinemática de 49 N orientada hacia la derecha. Dentro de la 
suposición de que el bloque se encuentre en movimiento, la fuerza total 
€ 
Ftotal = F + Froz.  
que actúa sobre el bloque sería: 
 
€ 
Ftotal t( ) =
149 − 350t te ≤ t ≤ 0.5
− 26 + 75 t− 0.5( ) 0.5 ≤ t ≤ 1.5
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 
(si no se incumplen las suposiciones iniciales) 
 
El impulso comunicado por la fuerza aplicada al bloque será (teniendo en cuenta que 
debe ser una función continua y que lo calculamos a partir de 
€ 
te ): 
 
€ 
I t( ) = F t( )dt
te
t
∫ =
− 31.72 +149t −175t2 te ≤ t ≤ 0.5
21.41− 127
2
t + 75
2
t2 0.5 ≤ t ≤ 1.5
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
 
 
Una vez calculado el impulso podemos calcular la velocidad del bloque (teniendo en 
cuenta que 
€ 
v te( ) = 0): 
 
€ 
v t( ) = I t( )m =
−1.586 + 149
20
t − 35
4
t2 te ≤ t ≤ 0.5
1.070 − 127
40
t + 15
8
t2 0.5 ≤ t ≤1.5
⎧ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
De nuevo este segundo análisis solo es válido mientras el bloque se encuentre en 
movimiento. Según la expresión anterior la velocidad se anulará en: 
 
€ 
v t f( ) = 0 ⇒ 1.070 − 12740 tf +
15
8 tf
2 = 0 ⇒ tf = 1.229  
 
Por lo tanto las expresiones anteriores para 
€ 
Ftotal t( ) , 
€ 
I t( )  y 
€ 
v t( )  sólo son válidas hasta 
€ 
t = tf =1.229 . A partir de este momento el bloque permanecerá en reposo (las dos 
fuerzas se anulan entre sí) hasta el momento final. 
Física Tema Página 5 
 
 
 
 
La gráfica para la velocidad del bloque será la siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
€ 
v t = 1.5( ) = 0m / s  
t 
v(t) 
Física Tema Página 6 
 
Sobre una partícula de 2 kg, actúa la fuerza   
€ 
 
F = 8 − 6t( )
 
i + 4 − t2( )  j + 4 + t( )
 
k  N. Si la 
velocidad de la partícula es   
€ 
 v = 150
 
i +100
 
j − 250
 
k  m/s  en 
€ 
t = 0 , determinar el tiempo para 
el cual la velocidad de la partícula es paralela al plano YZ, y la velocidad en ese instante. 
 
Solución: I.T.I. 92, 99, 01, I.T.T. 01, 04 
 
El impulso comunicado por la fuerza a la partícula es: 
 
  
€ 
 
I t( ) =
 
F t( )
0
t
∫ dt = 8t − 3t2( )
 
i + 4t − 13 t
3⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 
j + 4t + 12 t
2⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 
k  
 
Como dicho impulso es igual a la variación de momento lineal de la partícula: 
 
  
€ 
 
I t( ) =  p t( ) −  p 0( ) = m  v t( ) −  v 0( )( )
⇒
 v t( ) =  v 0( ) + 1
m
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 
I t( ) = 150 + 4t− 3
2
t2⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 
i + 100 + 2t− 1
6
t3⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 
j + −250 + 2t + 1
4
t2⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 
k 
 
En el instante 
€ 
ta  la velocidad de la partícula es paralela al plano YZ, luego: 
 
€ 
vx ta( ) = 0 ⇒ 150 + 4ta −
3
2 ta
2 = 0 ⇒ ta = −8.76s ,  
 
En ese momento la velocidad será: 
 
 
 
 
€ 
ta = 11.42s
 
  
€ 
 v ta( ) = 0
 
i −125.5
 
j −194.5
 
k m / s
 
Física Tema Página 7 
 
 
Un collarín de 3 kg que está inicialmente en reposo está sometido 
a la fuerza Q que varía como se indica en la figura. Si el 
coeficiente de rozamiento es µ = 0.25 determínese su velocidad 
cuando t = 0 y t = 1 s. 
 
 
 
Solución: I.T.I. 94 
 
Texto solución 
 
 
 
 
Un collarín de 3 kg que está inicialmente en reposo está 
sometido a la fuerza Q que varía como se indica en la figura. 
Si µ = 0.25 determínese la velocidad máxima que alcanza y 
el tiempo necesario para ello, así como el tiempo que tarda 
en llegar al reposo. 
 
 
Solución: I.T.I. 99, 02, 05, I.T.T. 02, 05 
 
Sobre el collarín van a actuar dos fuerzas: 
€ 
Q t( ) = 20 − 7.5t( ) N  que trata de deslizarlo y 
una fuerza de rozamiento 
€ 
Froz. = µmg = 7.35 N  que se opone a dicho deslizamiento. 
Siempre que 
€ 
Q > Froz.  el móvil se irá acelerando, aumentando su velocidad, con lo que 
la velocidad máxima se alcanzará en el instante tm en que las dos fuerzas se igualen (ya 
que a partir de entonces 
€ 
Q < Froz.  y el móvil irá perdiendo velocidad): 
 
€ 
20 − 7.5tm = 7.35 ⇒ tm =  
 
El impulso comunicado por las fuerzas desde el inicio hasta un instante t cualquiera 
será: 
 
€ 
I t( ) = Ftotal t( ) dt
0
t
∫ = Q t( ) − Froz.[ ]dt
0
t
∫ = 12.65 − 7.5 t( ) dt
0
t
∫ =12.65t− 3.75t2  
 
La velocidad del collarín en el instante tm la podemos calcular mediante el impulso 
comunicado hasta dicho momento por las dos fuerzas. Ese impulso se ha invertido en 
modificar el momento lineal del collarín: 
 
€ 
I tm( ) = Δp = mΔv = mvmáx. ⇒ vmáx. =
I tm( )
m =
1
3 12.65tm − 3.75tm
2( ) =  
 
En el momento td en el que el collarín se detiene, el impulso comunicado por las fuerzas 
tiene que ser nulo (salió del reposo y ha vuelto al reposo): 
Q(N) 
20 
1 t(s) 
5 
2 
€ 
1.69 s
 
€ 
3.56 m / s
 
Q(N) 
20 
1 t(s) 
5 
2 
Física Tema Página 8 
 
€ 
I td( ) = Δp = 0 ⇒ 12.65td − 3.75 td2 = 0 ⇒ td =  
 
 
€ 
3.37 s
 
Física Tema Página 9 
 
 
Se lanza horizontalmente una pelota de béisbol de 120 g 
hacia un jugador a la velocidad de 20 m/s. Después de ser 
golpeada por el bate sale proyectada a 40 m/s según se 
muestra en la figura. El tiempo de contacto del bate sobre la 
pelota es de 30 m/s. Calcular la fuerza media que actúa 
sobre la pelota. 
 
 
Solución: I.T.I. 94, 03, I.T.T 99, 03 
 
El impulso comunicado por la fuerza se invierte en modificar el momento lineal de la 
pelota luego: 
 
  
€ 
 
F mΔt = Δ
 p ⇒
 
F m =
Δ
 p 
Δt =
m v final − m
 v inicial
Δt =
mv final −cosθ ˆ i + senθ ˆ j ( ) −mvinicial ˆ i 
Δt =
=
−mvfinal cosθ − mvinicial( ) ˆ i + mvfinalsenθ ˆ j 
Δt
=
 
 
 
 
El vector de posición de una partícula de 5 kg de masa, expresado en el SI, es: 
 
r = t3 − 2( ) î + 1− t( ) ĵ + 3t2 − 6( ) k̂ , calcular: a) el momento lineal de la partícula en el 
instante t = 2 s, b) el momento angular respecto del origen en el mismo instante, c) el trabajo 
desarrollado en el tercer segundo, d) el impulso comunicado por la fuerza en los primeros 2 s. 
 
Solución: I.T.I. 04 
 
a) El momento lineal vendrá dado por: 
 
p t( ) = mv t( ) = m d
r
dt
= 15t 2î − 5 ĵ + 30t k̂ , 
a los dos segundos tendremos que: 
 
 
p 2s( ) =  
 
b) El momento angular respecto del origen será: 
 
 

L t( ) = r t( ) × p t( ) = −15t 2 + 30t − 30( ) î + 15t 4 − 90t 2 + 60t( ) ĵ + 10t 3 −15t 2 +10( ) k̂
 
y a los dos segundos: 
 
 

L 2s( ) =  
 
c) El trabajo desarrollado desde t = 2s hasta t = 3s será igual a la variación de energía 
cinética de la partícula en dicho intervalo: 
 
30º 
€ 
−219ˆ i + 80 ˆ j ( )  N
 
60 î − 5 ĵ + 60 k̂  Ns
 
−30î + 30k̂
 
Física Tema Página 10 
W = ΔEc = Δ
1
2
mv2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= Δ
p2
2m
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
1
2m
p2 3s( ) − p2 2s( )⎡⎣ ⎤⎦ =  
 
d) El impulso comunicado por la fuerza durante los dos primeros segundos se ha 
invertido en variar el momento lineal de la partícula: 
 
 

I 2s( ) = Δp = p 2s( ) − p 0s( ) =  
 
 
1912.5 J
 
60î + 60k̂
 

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