1. Nociones básicas. Los números. Operaciones - Universidad de Cádiz

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MATEM´ ATICAS


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Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas técnicas
Tema 1
Nociones matemáticas básicas. Los números. Operaciones
Elaborado por la Profesora Doctora Maŕıa Teresa González Montesinos
Índice
1. Śımbolos matemáticos 1
2. Teoŕıa de conjuntos 2
2.1. Correspondencias. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Leyes de composición. Estructuras algebraicas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Números naturales 8
4. Números enteros 9
5. Números racionales 11
6. Números reales 12
7. La recta real. Intervalos 12
8. Números complejos 13
9. Potencias y radicales 14
9.1. Potencias de exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.2. Definición de radical. Relación entre potencias y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.3. Propiedades de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.4. Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10.Notación cient́ıfica 20
11.Ejercicios propuestos 20
Tema 1 1
1. Śımbolos matemáticos
Las Matemáticas se pueden definir como el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y
propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades
desconocidas.
En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las
magnitudes (como en la geometŕıa), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de
ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas empezaron a considerarse
como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última
noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar śımbolos para generar
una teoŕıa exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas
que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
En matemáticas es fundamental utilizar una buena nomenclatura para que los conceptos puedan
ser manejados de forma clara, precisa y concisa. Aqúı es donde entran en juego los signos o śımbolos
matemáticos, que están constituidos por figuras, señales y abreviaturas utilizados en matemáticas para
denotar entidades, relaciones y operaciones.
El origen y la evolución de los śımbolos matemáticos no se conocen bien. El origen del cero es
desconocido, aunque hay confirmación de su existencia antes del año 400 d.C. La extensión del sistema
de lugares decimales a los que representan valores inferiores a la unidad se atribuye al matemático
holandés Simon Stevin (conocido también como Simon de Brujas), que llamó a las décimas, centésimas
y milésimas primas, secundas y tercias. Antes de 1492 ya se empezó a utilizar un punto para separar
la parte decimal de un número. Más tarde se usó también una raya vertical. En su Exempelbüchlein
de 1530, el matemático alemán Christoff Rudolf resolv́ıa un problema de interés compuesto haciendo
uso de fracciones decimales. El astrónomo alemán Johannes Kepler empezó a utilizar la coma para
separar los espacios decimales, y el matemático suizo Justus Byrgius utilizaba fracciones decimales de
la forma 3,2.
A pesar de que los antiguos egipcios teńıan śımbolos para la adición y la igualdad, y los grie-
gos, hindúes y árabes teńıan śımbolos para la igualdad y las incógnitas, en esos primeros tiempos las
operaciones matemáticas soĺıan ser bastante engorrosas debido a la falta de signos apropiados. Las
expresiones de dichas operaciones teńıan que ser escritas por completo o expresadas mediante abrevia-
turas de las palabras. Más tarde, los griegos, los hindúes y el matemático alemán Jordanus Nemorarius
empezaron a indicar la suma mediante yuxtaposición, mientras que los italianos la denotaban con las
letras P o p atravesadas con una raya, pero estos śımbolos no eran uniformes. Ciertos matemáticos
utilizaban la p, otros la e, y el italiano Niccolò Tartaglia soĺıa expresar esta operación como ∅. Los
algebristas alemanes e ingleses introdujeron el signo +, al que denominaron signum additorum, aunque
al principio sólo se utilizaba para indicar excedentes. El matemático griego Diofante utilizaba el signo
ր para indicar la sustracción. Los hindúes usaban un punto y los algebristas italianos la representaban
con una M o m y con una raya atravesando la letra. Los algebristas alemanes e ingleses fueron los
primeros en utilizar el signo actual, al que denominaron signum subtractorum. Los signos + y − fueron
usados por primera vez en 1489 por el alemán Johann Widman.
El matemático inglés William Oughtred fue el primero en usar el signo × en vez de la palabra
“veces”. El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizaba un punto para indicar la multipli-
cación y, en 1637, el francés René Descartes empezó a usar la yuxtaposición de los factores. En 1688
Leibniz utilizó el śımbolo ∩ para denotar la multiplicación y ∪ para la división. Los hindúes colocaban
el divisor debajo del dividendo. Leibniz usó la forma más conocida a : b. Descartes popularizó la
notación an para la potenciación y el matemático inglés John Wallis definió los exponentes negativos
y utilizó el śımbolo ∞ para representar infinito.
El signo de igualdad, =, lo creó el matemático inglés Robert Recorde. Otro matemático inglés,
Thomas Harriot, fue el primero en utilizar los śımbolos > y <, “mayor que” y “menor que”. El ma-
2 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
temático francés François Viète introdujo varios signos de agrupación. Los śımbolos de diferenciación,
dx, y de integración,
∫
, empleados en el cálculo, son originales de Leibniz, lo mismo que el śımbolo ∼
de semejanza, utilizado en geometŕıa. El matemático suizo Leonhard Euler es el principal responsable
de los śımbolos ∅, f , F , usados en la teoŕıa de funciones.
En la siguiente tabla se proporcionan los śımbolos matemáticos más utilizados:
= igual
6= distinto
<, ≤ menor, menor o igual
>, ≥ mayor, mayor o igual
⊂, ⊆ incluido o contenido
⊃, ⊇ que contiene o incluye
∈ pertenece
/∈ no pertenece
≡ equivalente
≈ aproximadamente igual a
∀ para todo, para cualquier, para cada
∃ existe
∃!, ∃̇ existe un/a único/a
∄ no existe
/, : tal(es) que
A=⇒B si ocurre A entonces ocurre B
A⇐=B si ocurre B entonces ocurre A
A⇐⇒B sucede A si y sólo si (siempre y cuando) suceda B
2. Teoŕıa de conjuntos
Aunque la definición de conjunto puede ser muy complicada, nos conformaremos con decir que un
conjunto es un grupo de elementos que poseen una cierta propiedad. Además se cuenta con el llamado
conjunto vaćıo, que se denota por ∅, y es el único conjunto que no contiene ningún elemento.
Los conjuntos se denotarán siempre con letras mayúsculas y sus elementos, que se escribirán siempre
en minúsculas, se incluirán entre llaves y separados por comas:
A = {a, b, c}, B = {x}, C = {7, 90}.
Dados dos conjuntos A y B, diremos que B es un subconjunto de A o que B está incluido en A si
todos los elementos de B pertenecen a A. Lo escribimos
B ⊆ A ⇐⇒ x ∈ A, ∀x ∈ B
Ejemplo 2.1 Sea el conjunto A = {x, y, z, t}. Éste está constituido por cuatro elementos: x, y, z, t.
Podemos decir que
1. x ∈ A, y ∈ A, z ∈ A, t ∈ A.
2. a /∈ A.
3. B = {y, z} =⇒ B ⊆ A.
Tema 1 3
Diremos que dos conjuntos, A y B, son iguales si ambos están formados por los mismos elementos:
A = B ⇐⇒ [x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B] .
Además se tiene que el conjunto vaćıo está incluido en cualquier conjunto.
Entre conjuntos se pueden realizar operaciones como la unión, la intersección y la diferencia.
Aśı, si A y B son dos conjuntos cualesquiera tendremos que
•A ∪B , (A unión B), es el conjunto constituido por los elementos de A y de B:
A ∪B = {x : x ∈ A, y/o x ∈ B}.
La unión posee las siguientes propiedades:
1. A ⊆ A ∪B, es decir:
∀x ∈ A, x ∈ A ∪B ⇐⇒ [x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪B] .
2. B ⊆ A ∪B.
•A ∩B , (A intersección B), es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B:
A ∩B = {x : x ∈ A, x ∈ B}.
Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando A ∩B = ∅. La intersección posee las
siguientes propiedades:
1. A ∩B ⊆ A, es decir:
∀x ∈ A ∩B, x ∈ A ⇐⇒ [x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A] .
2. A ∩B ⊆ B.
3. A ∩B ⊆ A ∪B.
•A−B , (A menos B), es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B:
A−B = {x ∈ A : x /∈ B}.
Si B ⊆ A, se define el conjunto complementario de B en A como Bc = {x ∈ A : x /∈ B}.
Las propiedades de la diferencia son las que siguen:
1. A−B ⊆ A, esto es:
∀x ∈ A−B, x ∈ A ⇐⇒ [x ∈ A−B =⇒ x ∈ A]
2. A−B ⊆ A ∪B.
Veamos todo esto en un caso concreto. Considérense los conjuntos A = {a, b, c, d, f} y B = {x, y, s}.
Como puede observase en la figura 1, se tiene que
A ∪B = {a, b, c, d, f, x, y, s}, A ∩B = {d, f, s},
A−B = {a, b, c}, B −A = {x, y}.
4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
A B
a
b
c
d
f
x
y
s
Figura 1
Por último, dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y B como el
conjunto de pares ordenados
A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} .
Ejemplo 2.2 Si A = {a, b, c} y B = {1, 2}, el producto cartesiano de ambos conjuntos será
A×B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} .
2.1. Correspondencias. Aplicaciones
Dados dos conjuntos cualesquiera, A y B, se pueden establecer relaciones que liguen de alguna
forma los elementos del conjunto A con los del conjunto B. Aśı, se llama correspondencia de A en
B a cualquier criterio que asigne elementos de B a elementos de A.
Una correspondencia f de A en B se denotará habitualmente por
f : A −→ B,
y diremos que A es el conjunto inicial y B el conjunto final. La imagen de un elemento de A es
el elemento o elementos de B que se le asignan, y la antiimagen de un elemento de B es el elemento
o elementos de A a los que es asignado. De este modo, si b ∈ B es imagen de a ∈ A, se escribirá
f(a) = b.
Ejemplo 2.3 Considérense los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}. Entre ambos puede estable-
cerse una correspondencia f mediante la figura que sigue:
A B
a
b
c
d
f
1
2
3
Tema 1 5
Se tiene que
1. la imagen de 1 es a y b,
2. el elemento 2 no tiene imagen,
3. la antiimagen de c es 3,
4. el elemento d no tiene antiimagen.
Una aplicación o función es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto inicial
un único elemento del conjunto final.
A B
a
b
c
d
f
x
y
z
Figura 2: Aplicación.
Sean A y B dos conjuntos y f : A −→ B una aplicación. Si S ⊂ A, se define el conjunto imagen
de S por f , o simplemente la imagen de S por f , como
f(S) = {f(x) : x ∈ S} = {y ∈ B : ∃x ∈ S, y = f(x)} ⊂ B.
En el caso en que sea S = A tendremos que f(A) = {f(x) : x ∈ A} es el conjunto imagen de f o la
imagen de f . Por convenio será f(∅) = ∅.
Si T ⊂ B, se define el conjunto antiimagen de T por f , o simplemente la antiimagen de T por
f , como
f−1(T ) = {x ∈ A : f(x) ∈ T} ⊂ A.
Tendremos además que f−1(∅) = ∅ por convenio.
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A B
S f(S)
f
(a) Imagen de S por f .
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A B
Tf−1(T )
f−1
(b) Antiimagen de T por f .
Figura 3: Imagen y antiimagen por una aplicación.
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Dada la aplicación f : A −→ B, si C ⊂ A, se define la aplicación restricción de f a C como la
aplicación
f|C : C −→ B
x 7−→ f|C(x) = f(x)
Diremos que f : A −→ B es una aplicación
inyectiva si elementos distintos de A tienen imágenes distintas, es decir, si
a1, a2 ∈ A, a1 6= a2 =⇒ f(a1) 6= f(a2),
o equivalentemente,
a1, a2 ∈ A, f(a1) = f(a2) =⇒ a1 = a2;
sobreyectiva o suprayectiva si todo elemento de B tiene antiimagen, esto es, si
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f(a) = b,
o lo que es lo mismo, si f(A) = B;
biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, o sea, si
∀b ∈ B, ∃!a ∈ A : f(a) = b
A B
a
b
c
d
f
1
2
3
4
5
(a) Aplicación inyectiva.
A B
a
b
c
d
f
1
2
3
(b) Aplicación sobreyectiva.
A B
a
b
c
d
f
1
2
3
4
(c) Aplicación biyectiva.
Figura 4: Tipos de aplicaciones.
Si A, B y C son tres conjuntos, y f : A −→ B y g : B −→ C son dos aplicaciones, podemos definir
una aplicación de A en C haciendo uso de f y g: la composición de f con g, que se denotará por
g ◦ f .
g ◦ f : A f−→ B g−→ C
x 7−→ y = f(x) 7−→ g(y) = g (f(x))
Tema 1 7
A B C
a
b
c
d
f g
x
y
z
1
2
3
4
Figura 5: Composición de aplicaciones.
Ejemplo 2.4 Sean f : A −→ B y g : B −→ C dos aplicaciones definidas por la figura 5 Obsérvese que
(g ◦ f)(a) = g (f(a)) = g(x) = 4, (g ◦ f)(b) = g (f(b)) = g(z) = 2,
(g ◦ f)(c) = g (f(c)) = g(x) = 4, (g ◦ f)(d) = g (f(d)) = g(y) = 1.
2.2. Leyes de composición. Estructuras algebraicas básicas
Llamamos ley de composición interna u operación interna definida en un conjunto A a una
aplicación
∗ : A×A −→ A
(a, b) 7−→ a ∗ b
Llamamos ley de composición externa u operación externa definida en un conjunto A con
conjunto de operadores K a una aplicación
⊥ : K ×A −→ A
(λ, a) 7−→ λ⊥a
Una operación interna ∗ definida en un conjunto A puede verificar las siguientes propiedades:
Asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ A.
Conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ A.
Existencia de elemento neutro: ∃!e ∈ A : a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ A.
Existencia de elemento simétrico: ∀a ∈ A, ∃!ā ∈ A : a∗ ā = ā∗a = e, siendo e el elemento neutro
del conjunto A.
Si ∗ y ◦ son dos operaciones internas definidas en un conjunto A, se dirá que ◦ es distributiva respecto
de ∗ si ∀a, b, c ∈ A se tiene que
(a ∗ b) ◦ c = (a ◦ c) ∗ (b ◦ c),
a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c).
Si A es un conjunto con una operación interna ∗, diremos que el par (A, ∗) es un grupo si ∗
satisface las propiedades siguientes:
8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
asociativa,
existe elemento neutro,
existe elemento simétrico.
Se dice que el grupo (A, ∗) es abeliano o conmutativo si ∗ es conmutativa.
Si A es un conjunto con dos operaciones internas, ∗ y ◦, se dirá que la terna (A, ∗, ◦) es un anillo
si
(A, ∗) es un grupo,
◦ es asociativa,
◦ es distributiva respecto de ∗.
Se dice que (A, ∗, ◦) es un anillo abeliano o conmutativo si ◦ conmutativa, y que es un anillo
unitario si ◦ posee elemento neutro.
Si A es un conjunto con dos operaciones internas, ∗ y ◦, la terna (A, ∗, ◦) se dice que es un cuerpo
si
(A, ∗) es un grupo conmutativo,
(A− {0}, ◦) es grupo, siendo 0 el elemento neutro de ∗,
◦ es distributiva respecto de ∗.
Cuando ◦ es conmutativa, se dirá que (A, ∗, ◦) es un cuerpo abeliano o conmutativo.
3. Números naturales
La Aritmética se basa en el concepto de número natural; prescindiendo del análisis de este con-
cepto, nos limitaremos a indicar que matemáticamente puede introducirse partiendo de tres conceptos
base: el “1” –el uno en el sentido habitual–, “número” –que indica 1, 2, 3, . . .–, y “sig” o “siguiente” por
el que se indica el que le sigue en el orden natural. A partir de ellos se definen los números naturales
como el conjunto de entes que satisfacen los cinco axiomas siguientes:
I. 1 es un número natural.
II. A cada número natural n, le corresponde uńıvocamente otro que se llama el siguiente: sig n.
III. El 1 no tiene precedente.
IV. Si sig n = sigm entonces n = m.
V. Principio de inducción completa.– Si un conjunto C de números naturales cumple las siguientes
condiciones:
a) C contiene al 1,
b) si C contiene a n, también contiene a sig n,
entonces C contiene a todos los números naturales.
Tema 1 9
Estos axiomas, que pueden considerarse como una “definición impĺıcita” de los números naturales,
permiten edificar de modo riguroso toda la Aritmética.
Aśı, pueden definirse por recurrencia la suma y multiplicación de números naturales y demos-
trarse las leyes usuales de cálculo. La suma se define por las reglas siguientes, válidas para cualesquiera
n y m:
n+ 1 = sig n, n+ sigm = sig (n+m).
Por ejemplo:
n+ 2 = n+ sig 1 = sig (n+ 1), n+ 3 = n+ sig 2 = sig (n+ 2), . . .
La multiplicación se define mediante las dos reglas siguientes, válidas para cualesquiera n y m:
n · 1 = n, n · sigm = nm+ n.
Por ejemplo:
n · 2 = n · sig 1 = n · 1 + n = n+ n, n · 3 = n · sig 2 = n · 2 + n, . . .
Siguiendo el método de inducción se prueban las reglas usuales de cálculo:
Suma Multiplicación
Ley conmutativa n+m = m+ n nm = mn
Ley asociativa (n+m) + k = n+ (m+ k) (nm)k = n(mk)
Ley distributiva (n+m)k = nk +mk
Además se tienen las leyes cancelativas de la suma y la multiplicación:
n+ k = m+ k =⇒ n = m, nk = mk =⇒ n = m
A partir de lo anterior se definen los conceptos de mayor y menor, gracias a los cuales puede
establecerse una ordenación de los números naturales. De este modo, se dice que n es mayor que m,
y se escribe n > m o bien m < n, si existe un número natural k tal que n = m+ k.
También por inducción se demuestran las leyes usuales de la desigualdad:
Ley de tricotomı́a.– Para cada dos números naturales n y m, vale una y sólo una de las relaciones
siguientes: n > m, n = m, n < m.
Ley transitiva de la monotońıa.– Si n > m y m > k entonces n > k.
Ley de monotońıa de la suma.– Si n > m entonces n+ k > m+ k.
Ley de monotońıa de la multiplicación.– Si n > m entonces nk > mk. De ésta se sigue que si
n > m y k > j entonces nk > mj.
Finalmente, decir que el conjunto de los números naturales se representa por N.
4. Números enteros
En el conjunto de los números naturales son siempre posibles la suma y la multiplicación, pero no
las operaciones inversas.
Ejemplo 4.1 No tienen solución las operaciones 4− 7, 17 : 3, ni en general n−m si n < m, ni n : m
si n no es múltiplo de m.
10 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Ello obliga a ampliar el concepto de número, introduciendo los números negativos, el cero y los
fraccionarios.
Para hacer posible la sustracción se introducen los números enteros. Llamamos números en-
teros a los pares ordenados {a − b} –minuendo−sustraendo– de números naturales con la condición
de que {a− b} = {c− d} si y sólo si a+ d = b+ d.
Siendo n ∈ N cualquiera, se llama entero positivo +a al representado por el par {(a + n)− n},
cero al entero {n− n} y entero negativo al número −a = {n− (k + n)}.
A partir de las definiciones anteriores se definen la suma, el producto y la desigualdad:
Suma: {a− b}+ {c− d} = {(a+ c)− (b+ d)},
Producto: {a− b} · {c− d} = {(ac+ bd)− (ad+ bc)},
Desigualdad: {a− b} < {c− d} ⇐⇒ a+ d < b+ c,
cuya fecundidad estriba en que las reglas operatorias serán las mismas que para los números naturales.
Y se demuestran, la ley uniforme –el resultado es independiente del par elegido para representar a
cada número–, asociativa, conmutativa, cancelativa, de la suma; distributiva, conmutativa de la multi-
plicación; de tricotomı́a, transitiva de la monotońıa y de monotońıa de la suma para las desigualdades;
en cambio, las leyes cancelativas y de monotońıa de la multiplicación se enuncian a continuación:
Ley cancelativa.– De ser ab = ac con a 6= 0, se deduce que b = c.
Ley de monotońıa.– Si a > b y c > 0 (o bien, c < 0, o bien, c = 0) entonces ac > bc (o bien,
ac < bc, o bien, ac = bc).
Conviene completar estas leyes con la llamada Ley modular: existe, para cada una de las dos ope-
raciones –suma y multiplicación– un número llamado elemento neutro o módulo que no modifica
el valor de otro cualquiera al que se aplique.
Para la suma este número es el cero, ya que, siendo p un número entero cualquiera, es p + 0 =
0 + p = p; y para la multiplicación es el uno, ya que p · 1 = 1 · p = p.
Con las definiciones y reglas anteriores la ecuación a+x = b siempre posee solución, lo que permite
interpretar el signo − como de diferencia, y definir el número opuesto de uno dado a como solución
de la ecuación a + x = 0. De dos números opuestos a y −a uno es siempre positivo y éste se define
como el valor absoluto de a y se designa por |a|, siendo |0| = 0.
Basándose en estas definiciones se demuestran a su vez las reglas de signos
+ ·+ = +, + · − = −, − ·+ = −, − · − = +,
y la regla general de desigualdad:
a > b ⇐⇒ a− b > 0.
De ello se sigue que todo número positivo es mayor que todo número negativo y de dos números
negativos es menor el de mayor valor absoluto. Además, el valor absoluto de una suma de dos números
a y b es la suma de los valores absolutos de éstos, si ambos tienen el mismo signo; pero si lo tienen
distinto, el valor absoluto de a + b es |a| − |b| –suponiendo que |a| > |b|–, número inferior a |a| + |b|
por ser −|b| < |b|. Resumiendo ambos casos tenemos que
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
El conjunto de todos los números enteros se conoce por Z y (Z,+) es un grupo conmutativo.

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