1. Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.

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1. Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente. Transcripciones

Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
1. Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.
Vamos a ver en este caṕıtulo la generalización del concepto de derivada de funciones reales de
una variable a funciones vectoriales con varias variables basada en la interpretación geométrica
de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.
Para una función f : (a, b) −→ R se define la derivada en un punto t0 ∈ (a, b) como el ĺımite
lim
t→t0
f(t)− f(t0)
t− t0
= f ′(t0)
t0 t
(t0, f(t0))
(t, f(t))
αt
α
f(t0)
f(t)
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
Geométricamente, los cocientes
f(t)− f(t0)
t− t0
= tanαt son las pendientes de las rectas se-
cantes a la gráfica de f por los puntos (t0, f(t0)) y (t, f(t)). La existencia de la derivada se
interpreta como la existencia de una posición ĺımite de las rectas secantes, cuando t tiende a t0,
que es la recta de pendiente tanα = f ′(t0). Esa recta ĺımite de las secantes es por definición la
recta tangente a la gráfica de f en t0, o mejor dicho, en (t0, f(t0)), y su ecuación será
y = f(t0) + f
′(t0)(x− t0)
Esta definición de la recta tangente se generaliza de forma inmediata a funciones vectoriales
de una variable:
Sea F : (a, b) −→ Rm, y t0 un punto de (a, b). Para otro punto t ∈ (a, b) podemos estudiar
la recta secante a la imagen de F que pasa por F (t0) y por F (t). Si estas rectas tienden a una
posición ĺımite cuando t tiende a t0, ésa será la recta tangente a la imagen de F en F (t0).
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
F (t0)
F (t)
t0
t
F
Un vector director de la recta secante que pasa por F (t0) y por F (t) seŕıa F (t) − F (t0),
pero este verificaŕıa, si F es una función continua, que el ĺımite cuando t tiende a t0 es cero.
Consideramos entonces los vectores
F (t)− F (t0)
t− t0
, que tienen la misma dirección, ya que son
proporcionales a los anteriores.
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
Definición (Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.).
Sea F : (a, b) −→ Rm y t0 ∈ (a, b). Se define la derivada de F en t0 como
F ′(t0) = lim
t→t0
F (t)− F (t0)
t− t0
∈ Rm
si este ĺımite existe.
Se llama recta tangente a la imagen de F en F (t0) a la recta que pasa por F (t0) y tiene
vector director F ′(t0). Su ecuación, en forma paramétrica, es
x = F (t0) + λF
′(t0) λ ∈ R
(donde x es un vector de Rm)
Observaciones:
1) Si escribimos las componentes de F , F = (f1, . . . , fm), fi : (a, b) −→ R entonces
F (t)− F (t0)
t− t0
=
(
f1(t)− f1(t0)
t− t0
, . . . ,
fm(t)− fm(t0)
t− t0
)
y por tanto, si existe la derivada de F en t0, será
F ′(t0) = (f
′
1(t0), . . . , f
′
m(t0))
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
En particular, por ejemplo para que F sea derivable, cada componente fi debe ser derivable,
y por tanto continua, luego F tienen que ser continua en t0
2) Volvamos a considerar funciones reales f : (a, b) −→ R. La gráfica de f se puede describir
como la imagen de la función F : (a, b) −→ R2 definida por F (t) = (t, f(t)).
F
a bt
a bt
f(t) (t, f(t))
Aparentemente tendŕıamos dos definiciones de la recta tangente a la gráfica de f en (t0, f(t0)):
por un lado,
y = f(t0) + f
′(t0)(x− t0)
y por otro lado
(x, y) = F (t0) + λF
′(t0)
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
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J I
Pero sustituyendo en esta ecuación F (t0) y F
′(t0) por su valor,
(x, y) = (t0, f(t0)) + λ(1, f
′(t0))
es decir
x = t0 + λ
y = f(t0) + λf
′(t0)
de donde despejando λ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se obtiene de nuevo
la misma ecuación de la recta tangente que ya teńıamos.
Ejemplo 1. Trayectorias: Uno de los ejemplos más utilizados de este tipo de funciones vectoriales
son las trayectorias: cuando un cuerpo se mueve por el plano o por el espacio, podemos representar
su trayectoria mediante una función del tiempo, que nos indique en cada instante la posición del
móvil, mediante sus coordenadas, F : (a, b) −→ R2, F (t) = (x(t), y(t)), o F : (a, b) −→ R3,
F (t) = (x(t), y(t), z(t)).
En estos casos, el vector F ′(t) representa la velocidad del móvil en el instante t, y su norma
‖F ′(t)‖ es la magnitud de la velocidad (unidad de longitud entre unidad de tiempo)
Si el móvil que describe la trayectoria F (t) se libera de la fuerza que lo gúıa por ella en un
instante t0, en ese momento continuaŕıa su movimiento por la recta tangente a la curva F (t)
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
en el punto F (t0), y con velocidad constante F
′(t0). La ecuación de esta nueva trayectoria a lo
largo de la recta tangente es
G(t) = F (t0) + F
′(t0)(t− t0), t > t0
F (t0)
F ′(t0)
Ejemplo 2. Hallar la velocidad a que se mueve un punto fijo en el borde de un disco de radio
R que rueda sobre una recta, sabiendo que la velocidad a que se desplaza el centro del disco es
V m/seg. ¿En qué puntos la velocidad es cero?
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
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2. Derivadas direccionales. Recta tangente en una dirección.
Consideremos ahora funciones reales de dos variables, f : R2 −→ R
El concepto de derivada que hemos definido antes no tiene sentido en este caso, ya que no
se puede definir la proporción entre la variación de f y el crecimiento de la variable. El cociente
f(t)− f(t0)
t− t0
no tiene sentido, ya que el denominador es un vector.
Lo que śı podemos hacer es, de forma semejante a las técnicas de cálculo de ĺımites de fun-
ciones de varias variables, escoger una dirección en el dominio de f y estudiar el comportamiento
de la función al movernos sólo en esa dirección.
A partir de un punto x0 ∈ Rn, escogemos un vector v ∈ Rn, v 6= 0, y consideramos la función
f sobre la recta que pasa por x0 y tiene dirección v, f(x0 + tv) = g(t). Esto define una función
g de una variable, con g(0) = f(x0), y tiene sentido estudiar si es derivable en t = 0.
Se llama derivada direccional de f en x0 en la dirección de v a
dvf(x0) = lim
t→0
f(x0 + tv)− f(x0)
t
= g′(0)
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
x0
v
x = x0 + tv
f(x0 + tv)
f(x0)
El hecho de que esta derivada exista se traduce geométricamente en el hecho de que la gráfica
de f tenga en el punto (x0, f(x0) una recta tangente en la dirección del vector v.
Para entender el significado geométrico de este número, consideremos el plano vertical que
contiene a la recta x0 + tv, a la gráfica de f sobre esta recta, a las secantes y a la recta tangente.
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
x0
v
x = x0 + tv
f(x0 + tv)
f(x0) αt
α
x0 v x0 + tv
f(x0)
f(x0 + tv)
La pendiente de la recta secante que pasa por (x0, f(x0)) y por (x0 + tv, f(x0 + tv)) es el
cociente
tanαt =
f(x0 + tv)− f(x0)
t‖v‖
y su ĺımite cuando t tiende a cero es la pendiente de la recta tangente
tanα = lim
t→0
tanαt = lim
t→0
f(x0 + tv)− f(x0)
t‖v‖
=
1
‖v‖
dvf(x0)
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
JJ II
J I
Es decir, la derivada direccional dvf(x0) es el producto de la norma del vector v por la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de f en x0 en la dirección de v.
Si ‖v‖ = 1, el número dvf(x0) es justamente la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
f en x0 en la dirección de v (la tangente del ángulo que forma la recta con el plano horizontal)
Por tanto un vector director de la recta tangente será (~v, dvf(x0)) ∈ Rn+1.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en ( ~x0, f(x0)) en la dirección de ~v queda
entonces
(~x, xn+1) = ( ~x0, f(x0)) + λ(~v, dvf(x0)), (λ ∈ R)
En el caso n = 2,
(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ(v1, v2, dvf(x0, y0))
Resumiendo, tenemos la siguiente definición:
Definición (Derivadas direccionales).
Sea U un abierto de Rn y f : U −→ R. Sea v ∈ Rn un vector no nulo. Se define la derivada
direccional de f en un punto x0 de U en la dirección de v como
dvf(x0) = lim
t→0
f(x0 + tv)− f(x0)
t
∈ R
si es que este ĺımite existe.
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
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La definición de las derivadas direccionales se puede hacer para el caso general de funciones
vectoriales de la misma manera:
Definición (Derivadas direccionales de funciones vectoriales).
Sea U un abierto de Rn y F : U −→ Rm. Sea v ∈ Rn un vector no nulo. Se define la derivada
direccional de F en un punto x0 de U en la dirección de v como
dvF (x0) = lim
t→0
F (x0 + tv)− F (x0)
t
∈ Rm
si es que este ĺımite existe. Por las propiedades de los ĺımites, si F = (f1, . . . , fm), entonces
dvF (x0) = (dvf1(x0), . . . , dvfm(x0))
Ejemplo 3. Hallar la derivada direccional en (0, 0), de la función
f(x, y) =
{
x2y
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en la dirección de los vectores v = (1,−1) y w = (2, 1)
Estudiamos la función f sobre los puntos de la recta que pasa por (0, 0) y tiene vector director
v,
g(t) = f((0, 0) + t(1,−1)) = f(t,−t) =
{
−t3
2t2
si t 6= 0
0 si t = 0
=
−t
2
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
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J I
Entonces
dvf(0, 0) = g
′(0) =
−1
2
En la dirección de w tenemos
g(t) = f((0, 0) + t(2, 1)) = f(2t, t) =
4t3
5t2
=
4t
5
y
dwf(0, 0) =
4
5
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretación
geométrica
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.
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3. Derivadas parciales.
Entre las derivadas direccionales de una función, juegan un papel fundamental las derivadas en
las direcciones de los ejes de coordenadas:
Definición (Derivadas Parciales).
Sea U un abierto de Rn, y f : U −→ R. Se llama derivada parcial i-ésima de f en un punto x0
de U a la derivada de f en x0 en la dirección del vector ei de la base canónica de Rn, y se escribe
df
dxi
(x0) = deif(x0) = lim
t→0
f(x0 + tei)− f(x0)
t
∈ R
Si F es una función vectorial, F : U −→ Rm, la definición es análoga, aunque el resultado
será un vector de Rm
dF
dxi
(x0) = deiF (x0) = lim
t→0
F (x0 + tei)− F (x0)
t
∈ Rm
Utilizando las componentes de F ,
dF
dxi
(x0) =
(
df1
dxi
(x0), . . . ,
dfm
dxi
(x0)
)

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