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Formas del discurso y razonamiento configural de estudiantes para maestros en la resolución de problemas de geometría


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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 33.1 (2015): 9-27 
Investigaciones didácticas
http://dx.doi.org/10.5565/rev/ensciencias.1332
ISSN (impreso): 0212-4521 / ISSN (digital): 2174-6486
Clemente, F., Llinares, S., (2015) Formas del discurso y razonamiento configural de es-
tudiantes para maestros en la resolución de problemas de geometría. Enseñanza de las 
Ciencias, 33.1, pp. 9-27
Formas del discurso y razonamiento 
configural de estudiantes para maestros 
en la resolución de problemas 
de geometría 
Pre-service primary teachers’ ways of discourse and configural 
reasoning in solving geometrical problems 
Francisco Clemente, Salvador Llinares
Departamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante 
fclemcis@gmail.com, sllinares@ua.es
RESUMEN • Este trabajo tiene como objetivo estudiar la relación entre las formas del discurso gene-
rado por los estudiantes para maestro al resolver problemas de geometría de probar y el razonamiento 
configural. Analizamos las respuestas de 97 estudiantes para maestro a dos problemas de probar para 
determinar cómo identificaban y relacionaban propiedades geométricas para deducir nuevos hechos y 
propiedades de las figuras. Los resultados muestran tres formas del discurso generado por los estudian-
tes para maestro para comunicar su resolución: gráfico, texto y una mezcla de los dos; y que las formas 
del discurso generado no influyen en el truncamiento del razonamiento configural que desencadena 
los procesos deductivos. 
PALABRAS CLAVE: conocimiento de geometría; concepto configural; razonamiento configural; 
aprehensión discursiva y operativa.
ABSTRACT • This paper reports of relationships between the pre-service primary teachers’ ways of 
discourse when solving proof geometrical problems and the figural reasoning. The answers of 97 pre-
service primary teachers to two proof geometrical problems were analyzed in order to determine how 
preservice primary teachers recognized and relationed the geometrical facts and definitions in order to 
infer new information about the figure. Findings indicate that pre-service primary teachers generated 
three different ways of discourse: Graphical, Textual and a mix of both. And that these ways of discour-
se don’t influence in the truncation of configural reasoning in order to generate deductive processes.
KEYWORDS: knowledge of Geometry; configural concept; configural reasoning; discursive and ope-
rative apprehensions.
Fecha de recepción: octubre 2013 • Aceptado: septiembre 2014
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Francisco Clemente, Salvador Llinares
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 33.1 (2015): 9-27
INTRODUCCIÓN
El conocimiento de geometría que debe tener un maestro es un tema que preocupa a los educadores 
matemáticos desde hace algún tiempo, al ser una variable que determina la manera en la que pueden 
apoyar el desarrollo del pensamiento espacial y geométrico de los estudiantes (Chinnappan y Lawson, 
2005; Stylianides y Ball, 2008; Stylianides, Stylianides y Shilling-Traina, 2013; Nason, Chalmers y 
Yeh, 2012; Steele, 2013). Un aspecto del conocimiento de la geometría por parte del maestro está re-
lacionado con el desarrollo de la visualización (Battista, 2007, 2008; Brown y Weatley, 1997; Presmeg, 
2006) y los procesos de exploración e indagación vinculados a esta, que pueden favorecer el que los 
estudiantes establezcan relaciones entre las definiciones y las propiedades geométricas (Clemente y Lli-
nares, 2013; Hanna y Sidoli, 2007). Por lo que la relación entre lo visual y el sistema lógico-deductivo 
es un primer paso para que los estudiantes puedan establecer relaciones entre las definiciones y pro-
piedades geométricas (Hanna, 1998; Hershkowitz, 1990). La manera en la que los estudiantes pueden 
identificar elementos en una configuración geométrica y asociarlos a hechos geométricos conocidos, o 
la manera en la que su conocimiento previo de geometría les ayuda a identificar elementos relevantes 
en una configuración para resolver un problema pueden estar mediadas por sus preferencias cognitivas 
(Kruteski, 1976), entendidas estas como el modo en que los estudiantes suelen procesar la informa-
ción (Pitta-Pantazi, Christou, 2009; Mayer y Massa, 2003). Estas preferencias pueden manifestarse en 
el discurso que los estudiantes generan cuando tienen que comunicar la resolución de un problema 
(Robotti, 2012; Chen y Herbst, 2013). El texto escrito y las representaciones de las configuraciones 
como componentes de sistemas semióticos pueden entenderse como instrumentos para la resolución y 
comunicación de los problemas de probar y, por tanto, son susceptibles de aportar información sobre 
las características del razonamiento geométrico de los estudiantes (Herbst, 2004).
Desde la perspectiva del conocimiento de la geometría por parte de los estudiantes para maestros 
y en el contexto de la resolución de problemas de probar, las formas del discurso plantean cuestiones 
relativas a cómo los estudiantes usan las definiciones y propiedades geométricas identificadas en las 
figuras para generar cadenas lógicas de relaciones entre los hechos geométricos. En particular, sobre 
la forma que adopta el discurso escrito de los estudiantes para maestro cuando dan cuenta de cómo 
infieren propiedades a partir de los hechos geométricos identificados en la configuración o dados como 
datos del problema. La respuesta a esta cuestión puede aportar información sobre la relación entre lo 
visual y lo discursivo para generar un proceso deductivo en la resolución de problemas de probar en 
geometría. 
MARCO TEÓRICO
En la investigación presentada se adopta el significado de concepto figural de Fischbein (1993) y la 
perspectiva de Duval (1995, 1998, 1999) en relación con el aprendizaje de la geometría. En particular, 
el papel que desempeñan los procesos de visualización en el reconocimiento de propiedades y relacio-
nes en las figuras geométricas y en los procesos de justificación. Usamos el término figura siguiendo a 
Mesquita (1998) para indicar la representación externa e icónica de un concepto o situación geomé-
trica considerado un sistema semiótico específico o registro (Duval, 1995). En geometría, el registro 
figurativo se vincula al sistema visual de percepción (Presmeg, 2006) y Mesquita (1998) indica que 
«la representación externa de un problema geométrico, per se, no permite resolver el problema, pero 
puede contribuir a la definición de una estructura del problema para facilitar su tratamiento» (p. 184).
En este sentido, Duval (1995) y Fischbein (1993) subrayan el papel heurístico de las figuras en el 
aprendizaje y en el desarrollo de los procesos de visualizar, justificar y construir en los contextos geomé-
tricos. Fischbein (1993) mantiene que las figuras geométricas poseen al mismo tiempo aspectos figura-
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les y conceptuales. En los problemas de probar es posible usar simultáneamente estos aspectos, ya que 
las propiedades de las figuras geométricas (representaciones) proceden de las definiciones y relaciones 
geométricas usadas en su construcción. Fischbein indica que una figura geométrica, por ejemplo un 
trapecio isósceles dibujado en un folio, es una figura controlada por la definición de trapecio isósceles y 
las propiedades geométricas derivadas de poseer dos lados paralelos y dos lados no paralelos congruen-
tes. Esta doble naturaleza de la figura geométrica define una nueva entidad mental que Fischbein llamó 
«concepto figural». La idea del concepto figural resalta el hecho según el cual imponer relaciones en 
los dibujos no depende del propio dibujo, sino de las definiciones y los teoremas previamente cono-
cidos. Además, Fischbein indica que inferir información adicional sobre la configuración no procede 
de considerar de manera separada la figura y las relaciones lógicas entre los hechos geométricos en un 
proceso deductivo, sino de un único proceso en el que la figura se «ve de otra manera», lo que permite 
revelar relaciones lógicas. Fischbein caracteriza este proceso indicando que la figura no es una imagen 
ordinaria, sino una estructura controlada lógicamente (Fischbein, 1993). En este sentido, la fusión 
entre el concepto y la figura para desarrollar el razonamiento geométrico es un objetivo de la enseñanza 
y puede ser considerado una característica clave del conocimiento de geometría para el maestro.
Para considerar cómo los conceptos figurales son controlados y manipulados mediante las rela-
ciones entre definiciones y teoremas previamente conocidos y comprender las operaciones lógico-
matemáticas de manipulación de las figuras geométricas (imágenes controladas mediante los corres-
pondientes conceptos), Duval introduce las nociones de aprehensión discursiva y operativa. Estos 
procesos cognitivos permiten estudiar cómo los conceptos y propiedades geométricas se asocian a la 
figura (y viceversa). Duval (1995) caracteriza la aprehensión operativa como la modificación de una 
figura para considerar subconfiguraciones. Esto se puede hacer añadiendo o quitando nuevos elemen-
tos geométricos, manipulando las diferentes partes de una configuración geométrica como un puzle 
para fijar la atención sobre subconfiguraciones particulares o, simplemente, fijando la atención sobre 
una parte específica de la configuración. Esta aprehensión se manifiesta, por ejemplo, cuando un es-
tudiante es capaz de identificar en una configuración dos rectas que se cruzan para considerarlas como 
una representación de ángulos opuestos por el vértice. Duval (1995) denomina aprehensión discursiva 
al reconocimiento de propiedades o relaciones en las configuraciones, o a la asociación de configura-
ciones o subconfiguraciones con afirmaciones matemáticas. Para Duval, la interacción entre estos dos 
procesos cognitivos (la aprehensión operativa y la discursiva) puede ayudarnos a comprender cómo las 
relaciones entre las propiedades geométricas gobiernan la manipulación de las figuras en la resolución 
de problemas de probar en geometría. 
El foco de atención sobre la coordinación de las aprehensiones operativa y discursiva en situacio-
nes de resolución de problemas (Prior y Torregrosa, 2013; Torregrosa y Quesada, 2007) ha permitido 
identificar algunas características de cómo funciona la relación entre las figuras, los hechos geométricos 
y la generación de relaciones lógicas entre ellos. Torregrosa y Quesada han denominado a este proceso 
«razonamiento configural» para subrayar la relación interactiva entre la identificación de elementos en 
una configuración geométrica y su vinculación con algún hecho geométrico, que el estudiante puede 
usar para resolver un problema planteado. El razonamiento configural (Torregrosa, Quesada y Penalva, 
2010) puede desembocar bien en un «truncamiento» (la coordinación proporciona la «idea» para re-
solver deductivamente el problema) y permite generar un proceso deductivo, o bien en un «bucle» (si-
tuación de bloqueo que no permite el avance hacia la solución). El término «truncamiento» se usa para 
dar cuenta del momento en el que los resolutores dejan el razonamiento visual al generarse la necesidad 
lógica de la argumentación (Prusack, Hershkowitz y Schwarz, 2012). Durante este proceso, el estu-
diante manipula conceptos figurales, es decir, imágenes intrínsecamente controladas por los conceptos, 
pero también es posible que los hechos y propiedades geométricas conocidos por el estudiante guíen 
de alguna manera el proceso de identificación de subconfiguraciones relevantes. Únicamente cuando 
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las figuras son intrínsecamente controladas por las condiciones conceptuales se logra la resolución de 
un problema al generarse un «truncamiento» en el razonamiento configural que permite generar una 
cadena lógica de proposiciones y hechos geométricos. En este proceso, la identificación en la configu-
ración inicial de elementos que puedan asociarse a algún hecho o propiedad geométrica (interacción 
entre las aprehensiones operativas y discursivas) puede ser condición necesaria para desencadenar el 
razonamiento configural, pero no ser una condición suficiente para generar el truncamiento.
En un contexto de resolver por escrito un problema, los procesos cognitivos descritos pueden llegar 
a evidenciarse a través del discurso escrito de los estudiantes para maestro. El texto producido puede re-
flejar sus estilos cognitivos, ya que algunas personas razonan mejor con palabras y otras razonan mejor 
con figuras (Mayer y Massa, 2003). Así, la interacción entre las representaciones de las configuraciones 
y el discurso cuando se están resolviendo problemas de probar en geometría aporta información sobre 
el razonamiento geométrico de los estudiantes, ya que tanto el discurso escrito como las expresiones 
verbales o gestos pueden considerarse recursos semióticos usados por los estudiantes cuando se impli-
can en la resolución del problema y en comunicar dicha resolución (Chen y Herbst, 2013; Robotti, 
2012). 
Teniendo en cuenta estas referencias previas, el objetivo de esta investigación es estudiar la relación 
que puede existir entre la forma del discurso escrito generado por los estudiantes para maestro al re-
solver problemas de geometría de probar y las características del razonamiento configural generado.
MÉTODO
Participantes
En el estudio participaron 97 estudiantes para maestro que habían seguido un curso de geometría 
organizado considerando los procesos de visualización, construcción y prueba (Duval, 1999). El ob-
jetivo del curso es que los estudiantes para maestro desarrollen la habilidad de reconocer diferentes 
propiedades geométricas mediante aprehensiones discursivas y operativas a través de múltiples con-
ceptos geométricos del currículo de educación primaria (Duval, 2007), y desarrollen el razonamien-
to configural (Torregrosa et al., 2007, 2010). Algunos de los contenidos en esta asignatura eran las 
propiedades, características y relaciones de las figuras geométricas (polígonos, triángulos, rectángulos 
y sus propiedades incluyendo las propiedades de los triángulos congruentes). Una parte de este curso 
consistía en resolver actividades de visualización, tareas de construcción geométrica y resolución de 
problemas geométricos de probar. 
Los problemas
Al finalizar el curso los estudiantes para maestro resolvieron un cuestionario que incluía dos problemas 
de probar (P2 y P3) como parte de la evaluación del curso (figura 1). El objetivo de estos dos proble-
mas era determinar cómo los estudiantes reconocían y relacionaban diferentes propiedades geomé-
tricas para deducir nuevos hechos y propiedades de las figuras. La resolución implicaba reconocer e 
identificar en las configuraciones geométricas propiedades y definiciones mediante aprehensiones ope-
rativas y discursivas, crear diferentes organizaciones posibles de estas proposiciones (resultados geomé-
tricos), para inferir nueva información sobre la configuración inicial mediante procesos de deducción 
lógica (Duval, 2007), y construir una prueba. Los conocimientos geométricos que podían usarse en la 
resolución de cada problema se recogen en la tabla 1. 
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P2   BD es la mediana del triángulo ABC
  AE es perpendicular a BF
  CF perpendicular a BF
Probar que AE es congruente a CF
P3 Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los án-
gulos de la base son congruentes
Fig. 1. Problemas del cuestionario.
Tabla 1.  
Análisis del contenido geométrico susceptible de ser usado en la resolución de los problemas
P2 P3
Asociación de elementos geométricos a la configuración:
– Definición de mediana de un triángulo.
– Ángulos opuestos por el vértice son iguales.
– Si una secante corta a dos rectas paralelas, forma con 
ellas ángulos alternos-internos iguales (alternos-externos 
iguales).
– Si una recta secante a un haz de 2 rectas forma ángulos 
alternos-internos/alternos-externos iguales, entonces el 
haz de rectas está formado por rectas paralelas.
Elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir 
información adicional:
– Si dos rectas forman ángulos rectos con otra tercera son 
paralelas.
– La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º 
(conocidos dos ángulos de un triángulo, conocemos el 
tercero).
– Criterios de congruencia de triángulos: 
A-L-A, L-A-L, L-L-L
Asociación de elementos geométricos a la configuración:
– Definición de bisectriz de un ángulo.
– Definición de triángulo isósceles: un triángulo es isós-
celes si tiene dos lados iguales (si un triángulo tiene dos 
ángulos iguales también son iguales los lados opuestos, 
por tanto es un isósceles).
Elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir 
información adicional:
– La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º 
(conocidos dos ángulos de un triángulo, conocemos el 
tercero).
– Criterios de congruencia de triángulos: 
 A-L-A, L-A-L, L-L-L
En cada una de las figuras iniciales en los dos problemas se pueden identificar varias configura-
ciones que pueden favorecer la generación de ideas claves para una solución (Mesquita, 1998). Los 
problemas fueron diseñados considerando la existencia de al menos una configuración relevante (fi-
gura 2), y fueron elegidos pensando en que las figuras representan un doble papel en el proceso de 
resolución. Por una parte, un papel descriptivo, ya que su función es proporcionar un contexto para 
la aprehensión de las propiedades mencionadas en el enunciado del problema, pero no tiene por qué 
sugerir un tratamiento específico (Duval, 1999). Es decir, la figura y el enunciado ayudan a representar 
la situación geométrica que se plantea en cada caso en general. Por otra parte, un papel heurístico, ya 
que la posibilidad de identificar alguna configuración relevante puede depender de la conducta indi-
vidual de cada estudiante.
Las subconfiguraciones en las representaciones de los dos problemas tienen características heurísti-
cas diferentes. La subconfiguración aP2 en el problema P2 y la subconfiguración cP3 en el problema 
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P3 podían ser consideradas parte de la configuración inicial. Mientras que las subconfiguraciones aP3 
y bP3 en el problema P3 son subconfiguraciones que se solapan en la configuración inicial, y debe 
realizarse una acción cognitiva más compleja (aprehensión operativa) para visualizarlas por separado. 
Además, en la configuración inicial del problema P3 hay una «pista» perceptiva al resaltarse uno de los 
triángulos que se forman con una de las bisectrices del triángulo isósceles. De esta manera, el problema 
P3 permitía estudiar la influencia de dicha pista perceptual en la identificación de una subconfigura-
ción y en la generación del proceso de razonamiento configural.
P2
P3
Fig. 2. Subconfiguraciones relevantes inicialmente consideradas en el diseño de los problemas del cuestionario.
ANÁLISIS
Los datos usados en esta investigación son las respuestas dadas por los estudiantes a estos dos proble-
mas. El análisis (Clement, 2000) se desarrolló en tres fases: 
– Fase 1: estudio descriptivo de las respuestas (se descompone el discurso textual generado por los 
estudiantes en unidades de análisis).
– Fase 2: organización de las propiedades geométricas identificadas en el estudio descriptivo de 
las respuestas realizado en la fase anterior. El discurso textual de los estudiantes se agrupa en dos 
momentos del proceso de resolución.
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– Fase 3: Identificación de las formas del discurso en relación con el desarrollo del razonamiento 
configural.
En la primera fase, el discurso textual generado por los estudiantes fue descompuesto en unidades 
de análisis para identificar las aprehensiones operativas y discursivas puestas de manifiesto (Torregrosa 
et al., 2010). Consideramos como una unidad de análisis las partes del discurso (dibujo, asignación de 
etiquetas o marcas a partes de la figura y/o del texto escrito) que podían reflejar la identificación o el 
uso por parte de los estudiantes para maestro de una propiedad, relación, hecho (definición) o propo-
sición geométrica. Este proceso es lo que Herbst (2004) ha denominado interacción representacional 
entre el estudiante y la configuración en el proceso de resolver problemas de geometría.
En la segunda fase, el texto de los estudiantes fue agrupado en dos momentos del proceso de reso-
lución:
– Visualización: cuando los estudiantes asocian afirmaciones matemáticas (datos del problema) a 
la configuración (aprehensión discursiva y operativa).
– Organización de las proposiciones: cuando los estudiantes encadenan lógicamente proposiciones 
para inferir/probar hechos. 
De esta manera, consideramos cómo los estudiantes para maestro asocian a la configuración, o a 
una subconfiguración, afirmaciones matemáticas procedentes de los datos del problema, o las integran 
en su discurso para explicitar lo que van a considerar como referencia. Estas aprehensiones discursivas 
y operativas implican reconocer y asociar a la configuración información dada de manera textual en el 
problema. La identificación de la subconfiguración y las organizaciones de las proposiciones derivadas 
buscaba reconocer la manera mediante la que los estudiantes relacionaban los contenidos geométricos 
para generar procesos deductivos (Prusack et al., 2012). Para ello, considerábamos cómo el estudiante 
organizaba las proposiciones (afirmaciones matemáticas, entendidas como definiciones, teoremas, co-
rolarios, propiedades geométricas, etc.) que le permitían usar las afirmaciones matemáticas que había 
identificado como hipótesis de algún teorema o proposición conocido. Es en este paso en el que los 
estudiantes que realizan un truncamiento del razonamiento configural consideran los hechos geomé-
tricos que están considerando como premisas de teoremas (en este caso los criterios de congruencia 
de triángulos) para deducir información nueva sobre la configuración (lo que había que probar). Las 
figuras 3a, 3b y 3c muestran un ejemplo de cómo identificamos los elementos geométricos y relaciones 
en la respuesta de un estudiante para maestro al problema P2.
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Fig. 3a. Respuesta de un estudiante para maestro al problema P2.
Fig. 3b. Identificación de unidades de análisis. Relaciones entre las aprehensiones operativas y discursivas que reflejan las 
interacciones representacionales en el discurso escrito de los estudiantes.
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Fig. 3c.Visualización y organización de las proposiciones en el discurso escrito del estudiante.
En la tercera fase, consideramos la forma del discurso que los estudiantes generaban reflejando un 
mayor o menor apoyo en la representación gráfica de las configuraciones, o apoyándose en un discurso 
con lenguaje textual-simbólico que podía depender del estilo cognitivo del estudiante. Esta manera de 
proceder nos permitía tener un registro de cómo el estudiante se implicaba en comunicar el proceso de 
resolución. De esta manera consideramos las interacciones de los estudiantes con los sistemas semióti-
cos (el discurso escrito y las representaciones de las configuraciones) como instrumentales en la resolu-
ción de los problemas de probar. Estas relaciones son las que intentamos explorar con nuestros datos.
RESULTADOS
Hemos agrupado los resultados obtenidos en dos secciones. En la primera, damos cuenta de la exis-
tencia de dos momentos en el proceso de resolución de problemas de probar. En la segunda sección 
describimos las relaciones entre las formas que adopta el discurso utilizado por los estudiantes para 
maestro para describir sus procesos de resolución y las características del razonamiento configural 
desencadenado.
Momentos en la resolución de problemas de probar
La resolución de estos problemas de probar tiene dos momentos característicos. En primer lugar (M1), 
el proceso de identificación o no de una subconfiguración geométrica (aprehensión operativa AO0), 
que permite realizar aprehensiones discursivas mediante las cuales se asocian hechos, definiciones y 
propiedades geométricas a la configuración inicial. En segundo lugar (M2), cuando se generan cadenas 
de relaciones lógicas entre los hechos geométricos. En este segundo momento se podía producir una 
cadena de relaciones lógicas (si… entonces) que resuelve el problema (truncamiento), o entrar en un 
proceso de bucle que no produce la respuesta adecuada. La tabla 2 muestra los resultados obtenidos.
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Tabla 2.  
Momentos en el proceso de resolución
M1
Identifican configuración No identifican configuración TOTAL
Aprehensiones  
discursivas
No Aprehensiones 
discursivas
Aprehensiones  
discursivas
No Aprehensiones 
discursivas
M2 Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle
P2 59 5 0 22 0 0 0 11 97
P3 41 5 0 33 0 0 0 18 97
TOTAL
100 10 0 55 0 0 0 29 194
165 29
Los datos de la tabla 2 indican que el 85,1% de las respuestas (165 de un total de 194) iniciaban 
un discurso para dar cuenta de la resolución del problema en el que de una manera explícita los estu-
diantes se apoyaban en la identificación de una configuración geométrica. Mientras que en el 14,9% 
de las respuestas (29 de un total de 194) no se muestra ningún indicio de que los estudiantes hubieran 
identificado alguna subconfiguración. De las respuestas en las que los estudiantes indican de manera 
explícita, o implícita a través del texto escrito o realizando marcas en la configuración, que han identi-
ficado una configuración (n = 165), en el 66,7% (110 de 165) hay evidencia de la realización de alguna 
aprehensión operativa y discursiva. En estas aprehensiones los estudiantes relacionaban algún dato del 
problema, mediante una definición o propiedad geométrica, con alguna parte de la configuración. 
Finalmente, de las respuestas en las que había evidencias de aprehensiones discursivas (n = 110), el 
90,9% (100 de 110) generaron un truncamiento en el sentido de desencadenar relaciones lógicas entre 
los hechos geométricos identificados que llevaba a la prueba pedida. Estos datos indican que la identi-
ficación entre un hecho geométrico y una parte de la configuración inicial es una condición necesaria 
(aunque no suficiente) para la resolución del problema. Desde la perspectiva de la idea de concepto 
figural de Fischbein, este momento (M1) es evidencia de que el conocimiento de hechos geométricos 
(lo conceptual) y lo visual (la configuración) se interrelacionan. Esta interrelación se manifiesta a través 
de las aprehensiones discursivas y operativas que se explicitan en cada respuesta. 
Formas del discurso y el razonamiento configural
En la resolución escrita del problema los estudiantes generan un discurso que puede apoyarse en la 
realización de marcas sobre la configuración inicial, mediante la identificación y representación de una 
subconfiguración y/o generando un texto que refleja su razonamiento. El análisis de las formas del 
discurso generado por los estudiantes que reconocían una subconfiguración relevante (n = 165) nos ha 
permitido identificar tres formas del discurso. El contenido de este discurso hace referencia a la confi-
guración relevante sobre la que se apoya el razonamiento configural, o a la identificación explícita de 
los hechos geométricos que pueden ser susceptibles de relacionarse para generar cadenas de inferencias 
lógicas. Estas tres formas del discurso para dar cuenta de la resolución del problema son: gráfica, texto 
y un formato mixto gráfica-texto (figuras 4a, 4b y 4c). Por ejemplo, en el caso de un formato mixto (fi-
gura 4b), el alumno copia el dibujo y marca en este algunos elementos; sin embargo, la representación 
gráfica resulta insuficiente para mostrar la identificación realizada.
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Formas del discurso y razonamiento configural de estudiantes para maestros
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 33.1 (2015): 9-27
Fig. 4a. Fragmento de la respuesta del alumno 14 al problema P3. Representación gráfica de la subconfiguración relevante.
Fig. 4b. Fragmento de la respuesta del alumno 49 al problema P2. Representación gráfica + texto de la subconfigura-
ción relevante.
Fig. 4c. Fragmento de la respuesta del alumno 33 al problema P2. Identificación mediante solo texto de la subconfi-
guración relevante.
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Francisco Clemente, Salvador Llinares
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 33.1 (2015): 9-27
La tabla 3 muestra los resultados de este análisis en cada uno de los dos problemas considerando 
cuándo se generaba un truncamiento y cuándo un bucle.
Tabla 3. 
Formas de discurso generado
Formas del discurso TOTAL
Gráfico Gráfico + texto Solo texto
Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle
P2
25 10 14 8 19 10
35 22 29 86
P3
30 27 4 4 7 7
57 8 14 79
Total 92 (55,8%) 30 (18,2%) 43 (26%) 165 (100%)
Estos datos muestran que la forma gráfica del discurso es predominante (55,8%) frente a las otras 
dos, solo texto (26%) y la forma combinada gráfico + texto (18,2%). Una conclusión desde estos datos 
es que aproximadamente en una cuarta parte de las respuestas (26%) se realizaba un discurso mayori-
tariamente textual, aunque en los dos problemas se presentaba una figura. 
Podemos resaltar dos aspectos en relación con las respuestas que generaron una forma de discurso 
básicamente apoyada en texto. En primer lugar, la manera de desarrollar este discurso textual fue dis-
tinta en los dos problemas. Mientras en el problema P2 el discurso textual fue del 33,7% (29 de 86 
respuestas), en el problema P3 fue solo del 17% (14 de 79 respuestas). Sin embargo, esta relación se 
invierte cuando se considera la presencia de la forma gráfica del discurso (en el P2, 40,6%, 35 repuestas 
de 86, y en el P3, 72,1%, 57 respuestas de 79). Estos datos parecen indicar que la demanda cognitiva 
del problema y/o la manera en la que estaba presentado el enunciado influye en la generación de un 
discurso gráfico o textual que los estudiantes desencadenan al comunicar su resolución.
En segundo lugar, el efecto de producir un truncamiento o un bucle teniendo en cuenta la forma 
de iniciar el discurso fue similar en términos globales (tabla 4). De las 92 respuestas que desarrollaron 
un discurso básicamente gráfico, 55 de ellas (59,7%) determinaron un truncamiento, mientras que de 
las 43 respuestas que desarrollaron un discurso básicamente textual, 26 de ellas (60,4%) determinaron 
un truncamiento. Finalmente, de las 30 respuestas con una forma de discurso mixta (gráfica + texto), 
18 de ellas (60%) determinaron un truncamiento.
Esta semejanza se mantiene cuando se mira el comportamiento en los dos problemas. En el P2, los 
porcentajes de respuestas que determinaron un truncamiento en las diferentes formas de discurso fue: 
gráfico 71,4% (25 de 35 respuestas), gráfico + texto 63,6% (14 de 22 respuestas) y texto 65,5% (19 
de 29 respuestas). Mientras que en el P3 fueron: gráfico 52,6% (30 de 57 respuestas), gráfico + texto 
50% (4 de 8 respuestas) y texto 50% (7 de 14 respuestas). Estos datos indican que la forma que adopta 
el discurso en cada una de las respuestas, no indica ninguna tendencia en la manera en la que los estu-
diantes pueden desarrollar relaciones entre las propiedades y definiciones geométricas que generan las 
cadenas lógicas de la prueba. 
Los datos parecen apoyar la idea de la existencia de preferencias cognitivas en los estudiantes, inde-
pendientemente del problema, puestas de manifiesto al generar un determinado tipo de discurso para 
dar cuenta del razonamiento seguido. Pero la preferencia cognitiva del estudiante, puesta de manifiesto 
en la forma que adopta el discurso que genera, no parece estar relacionada con el nivel de éxito en la 
resolución de los problemas. 
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Formas del discurso y razonamiento configural de estudiantes para maestros
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 33.1 (2015): 9-27
Tabla 4. 
Forma del discurso y razonamiento configural
Truncamiento Bucle TOTAL
Gráfico 55 (59,7%) 37 92
Gráfico + Texto 18(60%) 12 30
Texto 26(60,4%) 17 43
TOTAL 99 66 165
DISCUSIÓN
Formas del discurso y problemas de probar en geometría
Nuestros datos muestran tres formas de discurso que los estudiantes usan para dar cuenta de la resolu-
ción de problemas de geometría de probar que pueden estar vinculados a estilos cognitivos diferentes 
(Kruteski, 1976; Mayer y Massa, 2003; Presmeg, 2006). Existe un grupo de estudiantes con una 
importante preferencia visual evidenciada cuando representan gráficamente las configuraciones y sub-
configuraciones identificadas como relevantes para iniciar el razonamiento configural y sobre las que 
apoyan su discurso. Hay otro grupo de estudiantes que inician y apoyan su razonamiento configural 
únicamente mediante lenguaje textual-simbólico. Finalmente, existe un grupo que realiza una aproxi-
mación mixta, combinando la representación gráfica con el lenguaje textual-simbólico para identificar 
alguna subconfiguración e iniciar el razonamiento configural.
Lo que nuestros datos indican es que la forma en la que los estudiantes comunicaban la resolución 
del problema no parece estar relacionada con la generación de un truncamiento en el razonamiento 
configural. Estos datos parecen sugerir que las preferencias cognitivas de los estudiantes, sobre cómo 
comunicar la resolución del problema, no son una condición que determine si han establecido relacio-
nes entre los hechos geométricos para generar cadenas lógicas que les permitan probar la propiedad so-
licitada. En este sentido, los datos parecen apoyar los planteamientos más generales que reconocen que 
las diferentes habilidades cognitivas de los estudiantes que les permiten desarrollar diferentes formas de 
discurso no tienen por qué determinar una mayor o menor competencia matemática (Presmeg, 2006).
Una variable que puede ayudar a explicar los diferentes comportamientos de los estudiantes, pues-
tos de manifiesto por sus preferencias al generar un discurso para dar cuenta de la resolución, tiene que 
ver con los datos proporcionados y las relaciones que se tienen que establecer para llegar a la tesis que 
hay que probar. Los estudiantes que desarrollan una forma de discurso gráfico identifican primero los 
hechos geométricos dados como datos, para posteriormente intentar establecer relaciones a partir del 
reconocimiento de la utilidad de algún resultado geométrico previamente conocido. Por otra parte, 
los estudiantes que generan un discurso apoyado principalmente en el texto parece que identifican 
primero lo global, lo que había que probar (la tesis), y luego intentan identificar algún resultado pre-
viamente conocido que suponen podría serles útil. Esta interpretación de nuestros resultados puede 
entenderse como complementaria a las aportaciones de Yang y Lin (Lin y Yang, 2007; Yang y Lin, 
2008) en la caracterización de un modelo de comprensión lectora del proceso de probar. Yang y Lin 
(2008) sugieren que existen al menos dos formas en las que se desarrolla la comprensión lectora de una 
prueba. Una forma es aquella en la que se identifican los elementos y posteriormente las relaciones en-
tre ellos para llegar a una comprensión global de la prueba escrita («encapsulation») y que denominan 
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Francisco Clemente, Salvador Llinares
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 33.1 (2015): 9-27
comprehensión relacional. Mientras que están los estudiantes que van desde los elementos individuales 
a lo global para posteriormente llegar a reconocer y encadenar los elementos, que denominan compre-
hensión instrumental. Estas dos formas, que parecen reflejar diferentes aproximaciones al aprendizaje, 
pueden estar relacionadas con la manera en la que los estudiantes en nuestra investigación desarrollan 
una forma textual o gráfica del discurso. Por lo que, en cierta medida, la generación de una prueba 
(en nuestra investigación) o la comprensión lectora de una prueba (en la investigación de Yang y Lin, 
2008) parecen estar indicando estos dos perfiles en dos ámbitos complementarios (hacer pruebas y 
comprensión lectora de pruebas).
De las aprehensiones discursivas a generar relaciones lógicas 
La forma de los datos analizados (respuestas escritas a la resolución de los problemas) y los resultados 
obtenidos plantea la cuestión de intentar determinar qué es lo que activa la cadena de relaciones lógi-
cas entre los hechos y propiedades geométricas que constituyen el truncamiento en el razonamiento 
configural. En otras palabras, lo que puede desencadenar el establecimiento de relaciones lógicas entre 
los hechos y propiedades geométricas identificadas para generar una prueba (lo que Duval denomina 
iniciar el proceso deductivo). Nuestros datos indican que establecer relaciones lógicas entre los hechos 
geométricos para generar inferencias va más allá de simplemente reconocer mediante aprehensiones 
discursivas alguna propiedad o definición geométrica en la configuración geométrica (primer mo-
mento del proceso de resolución) (Llinares y Clemente, 2014). Este hecho nos lleva a suponer que es 
posible que los estudiantes que inician un discurso básicamente textual puedan tener mentalmente 
representada la configuración y no necesiten una representación física. Mientras que, por otra parte, 
los estudiantes que inician su discurso de una manera primordialmente gráfica pueden estar mostrando 
su necesidad de este apoyo gráfico para razonar. Sin embargo, el hecho de que las tres maneras me-
diante las que se inicia el discurso tengan el mismo nivel de éxito parece indicar que la preferencia en 
la forma del discurso (gráfico, texto o mixto) no influye en la generación de las relaciones lógicas entre 
los hechos geométricos.
Otra explicación alternativa es que los estudiantes que inician su discurso de una manera textual 
están estableciendo de manera formal relaciones entre los hechos y las definiciones geométricas, y lue-
go, con posterioridad, estén buscando un apoyo visual. Esta explicación plantea la cuestión del papel 
de lo visual en el desarrollo de la prueba, es decir, en generar cadenas lógicas entre los hechos geomé-
tricos para derivar un nuevo conocimiento (Arzarello, Olivero, Paola y Robutti, 2008; Herbst, 2004; 
Prusack, Hershkowitz y Schwarz, 2012). Este sería el caso que explique el desarrollo del truncamiento 
en el razonamiento configural, ya que para desencadenar el truncamiento los estudiantes pueden tener 
que desvincularse de lo visual y centrarse únicamente en las relaciones lógicas que pueden establecer 
entre los hechos geométricos. En este caso, la relación entre lo intuitivo y lo formal (Pazysz, 1988; 
Vinner y Kopelman, 1998) y la manera en la que los estudiantes pueden priorizar un aspecto frente al 
otro pueden estar en el origen de la generación del truncamiento del razonamiento configural. Como 
consecuencia de esta posible explicación, Vinner y Kopelman indican que, al menos en algunos casos, 
se debería enseñar lo formal primero con la esperanza de que la intuición seguirá después. 
En cualquiera caso, lo que parece desempeñar un papel relevante es el conocimiento de geometría 
previo de los estudiantes, y la manera en la que los datos del problema o lo identificado inicialmente en 
la configuración son considerados como hipótesis de proposiciones y teoremas del tipo «si se cumple… 
entonces…». Por ejemplo, el conocimiento de los criterios de congruencia de triángulos usados en los 
problemas propuestos en nuestra investigación y que formaría parte del conocimiento geométrico (lo 
formal) activado durante la resolución de los problemas. 

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