11. Velocidad instantánea Sea ( ) s t la posición de cierto objeto

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11. Velocidad instantánea


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11. Velocidad instantánea Sea ( ) s t la posición de cierto objeto Transcripciones

3 - 28  Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 
 
PROBLEMAS DE APLICACIÓN: CÁLCULO DE VELOCIDADES 
 
Conceptos clave: 
 
 
11. Velocidad instantánea  
 
Sea ( )s t  la posición de cierto objeto moviéndose en el tiempo t.  
 
Si ( )s t >0 significa que el objeto esta a la derecha o hacia arriba del origen.  
Si ( )s t <0 significa que el objeto esta a la izquierda o hacia abajo del origen. 
Si ( )s t =0 significa que el objeto esta en el origen. 
 
La velocidad instantánea, es decir, la velocidad de dicho objeto en un instante 
determinado 0t está dada por: 
             
 
 
Si 0( )v t > 0 significa que el cuerpo se mueve en dirección positiva (hacia la 
derecha o hacia arriba) 
 
Si 0( )v t < 0 significa que el cuerpo se mueve en dirección negativa (hacia la 
izquierda o hacia abajo) 
 
Si 0( )v t = 0 significa que el cuerpo está en reposo 
 
 
 
Sugerencias para el profesor  
A manera de introducción, se puede iniciar con una explicación o análisis de 
un problema que involucre posición y velocidad, ya que este tipo de ejercicios 
se relacionan más con el contexto o entorno de los estudiantes. 
  
Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 29 
 
 
Si un automóvil parte de CCH Azcapotzalco hacia CCH Naucalpan 
y tarda 20 minutos en completar dicho trayecto el cual  consta de 
7km, ¿a qué velocidad viajó el automóvil?  
La velocidad se puede calcular como   
 
 
, de tal forma que al 
sustituir los valores correspondientes,   
 
   
      , sin 
embargo, sabemos que se trata de una velocidad promedio, ya que 
14k/h es una velocidad muy baja para un automóvil, pero en un 
trayecto como el que se indica, hay semáforos, trafico, baches, 
entre otros. Seguramente la velocidad en algunos tramos fue mayor a 14k/h en otros fue 
menor e incluso hubo altos totales.  
Si trazamos la grafica de una función que describa la posición (desplazamiento) del 
vehículo con base en el tiempo transcurrido obtendremos una grafica no lineal, ya que el 
desplazamiento del auto no es uniforme. 
En la tabla se indican algunos de los desplazamientos del vehículo mencionado.  
Tiempo en 
minutos 
Desplazamiento en 
kilómetros 
0 0 
3 1 
5 2 
10 3 
13 4 
17 5 
19 6 
20 7 
 
La grafica correspondiente es la que se muestra 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
0 5 10 15 20 25 
K
i
l
o
m
e
t
r
o
s
 
Tiempo en minutos 
3 - 30  Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 
 
Si deseáramos obtener la velocidad promedio entre el minuto 10 y 13, debemos hacer la 
división entre la diferencia de la distancia que a su vez está en función del tiempo 
           , entre la diferencia del tiempo en ese intervalo de tiempo, es decir,      : 
     
           
     
 
  
  
 
Podríamos tomar intervalos de tiempo cada vez más pequeños y hacer que     , con lo 
cual obtendríamos la velocidad en cada instante (velocidad instantánea). 
De esta forma cuando tenemos una función de desplazamiento en función del tiempo, por 
ejemplo     , para obtener la velocidad instantánea deberemos obtener           . 
 
Procedimiento para obtener la velocidad instantánea 
en el instante 0t , esto es:       
    ..  
 
1. Obtén la derivada  '( )s t  con alguno de los métodos  
que ya conoces. 
2. Evalúa la derivada en el punto 0t         
     .  
 
Ejemplos 
1) Se ha determinado que 
2( ) 60s t t t    es la expresión que 
representa la distancia a que se encuentra cierta clase de halcón que 
viaja en línea recta  desde su punto de partida (la expresión solo es 
válida para las primeras dos horas de vuelo). La distancia ( )s t  esta 
medida en kilómetros y el tiempo en horas. ¿Cuál es la velocidad 
instantánea a los 90min. (1.5 hrs)? 
 
1.           _____________ 
2. Evaluando la derivada en 1.5 horas. (1.5)v ____________ 
La distancia del halcón al cabo de 2hrs, puede obtenerse fácilmente al evaluar ( )s t  
cuando 2t  , de esta forma sabemos que ( )s t =__________________ 
  
Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 31 
 
¿Cuál es la velocidad instantánea del halcón al cabo de 0.5 hrs, 1 hr y 2hrs? 
__________________  __________________  __________________ 
Para encontrar la velocidad promedio del halcón entre la primera y segunda hora, se debe 
encontrar las distancias en 1 y 2 horas y dividirla entre la diferencia de estas tiempos, es 
decir, 
__
2 1
2 1
( ) ( ) (2) (1)
___ ___
s t s t s s
v
t t
 
 
 
, por lo tanto la velocidad promedio resultante 
es:_________________ 
Elabora las graficas de movimiento (posición s(t)) y velocidad (v(t)) del halcón. 
 
 
Puntos problemáticos  
Algunos estudiantes memorizan los pasos que deben hacer sin 
preocuparse por comprender el problema y lo que se está solicitando 
en el mismo. Se debe avanzar sin prisa, pues para algunos alumnos 
los ejercicios resultan complicados y pueden ser tediosos si no le encuentran un 
sentido práctico.  
 
2) Se lanza un objeto desde el suelo hacia arriba a una velocidad inicial de 
121m/seg. Se sabe que la distancia que recorre dicho objeto desde su punto de partida  a 
los t segundos es: 
2( ) 121 11s t t t   
 
¿Cuál es la distancia recorrida en 5 segundos?___________________ 
  
0
50
100
150
200
250
300
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Horas
K
il
ó
m
e
tr
o
s
POSICIÓN VELOCIDAD
3 - 32  Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 
 
¿Cuál es la expresión para obtener la velocidad del objeto en cualquier instante? 
1.           _____________ 
 
2. ¿Cuál es la velocidad instantánea a los dos segundos?________________ 
¿Cuál es la velocidad del objeto en 0.5 seg, 1.9 seg y 2.8 seg? 
______________________ ______________________  ______________________ 
 
¿En qué tiempo el objeto lanzado desde el suelo alcanzara una altura máxima?  
Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t), e indica la dirección del movimiento. 
T 0 1 2 3 4 5 5.5 6 7 8 
s(t) en 
metros 
          
v(t) en m/s           
Dir. del 
Movimiento 
  
 
Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento 
 
 
  
Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 33 
 
Elabora las graficas de movimiento (posición s(t)) y velocidad (v(t)) del objeto lanzado. 
 
_______________________________________________________________ 
 
La distancia total recorrida entre los segundos 0 y 11 
(5.5) (0) _________
(11) (5.5) _________
s s
s s
 
 
 
___________+____________=    __________mts 
 
3) Se ha visto que durante el movimiento de un objeto, la razón de cambio de la 
posición  s t  es la velocidad, esto es que    ´v t s t , pero la velocidad también 
puede cambiar con el tiempo. Si la razón de cambio instantáneo de la velocidad 
con respecto al tiempo se le llama aceleración que se describe como    ´a t v t , 
encuentra una expresión para calcular la aceleración de un objeto en el instante t  
utilizando su posición  s t . 
En los ejemplos anteriores, ¿Cuál sería la función de aceleración? 
  
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 2 4 6 8 10 12
Segundos
M
e
tr
o
s
POSICIÓN VELOCIDAD
3 - 34  Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 
 
 
 
Ejercicios 
 
 Para cada uno de los siguientes ejercicios contesta lo que se te pide. 
 
 
 
1.- Un vendedor te ofrece un carro de juguete a control remoto, se sabe que en 
línea recta la función de posición del mismo es: 
3 21( ) 2 5 10
3
s t t t t    , el tiempo está en 
segundos y la distancia en metros.  
a) ¿Qué distancia teóricamente recorrería en 3, 4 y 6 segundos? 
______________ ______________ ________________ 
b) ¿Que significa que la distancia sea negativa en los segundos 3, 4 y 6? 
__________________________________________________________ 
__________________________________________________________ 
 
c) ¿Cuál es la velocidad en el instante t? 
d) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 3, 4 y 6 segundos? 
______________ ______________ ________________ 
 
e) ¿Qué significa que la velocidad sea negativa en los segundos 3 y 4, y positiva 
en el segundo 6? 
_______________________________________________ 
________________________________________________ 
 
Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 35 
 
f) ¿En que tiempos carro a control remoto está en reposo? __________  y 
____________ 
g) Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t), e indica la dirección del 
movimiento. 
T -2    -1    0      1      2      3      4      5      6      
s(t)          
v(t)          
Dir. del 
Movimiento 
         
 
h) Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento  
 
 
i) ¿Cuál es la velocidad promedio entre los segundos 1 y 4?  _________km/h 
j) Elabora las graficas de posición s(t) y velocidad v(t) 
 
 
k) ¿Cuál es la distancia total recorrida en el intervalo [-2,6]?________mts 
3 - 36  Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 
 
2. - Dos cohetes robot tomarán muestras de las partículas suspendidas en el aire y 
medirán la cantidad de luz ultravioleta que deja pasar la capa de ozono, ambos cohetes 
son liberados a una altura de 2000mts sobre el nivel del mar.  
Viajando en línea recta, los cohetes deben cubrir cada uno una distancia de al menos 
1200 km en las primeras 2 hrs y en tres horas al menos 1300 km. 
Los cohetes deben regresar a una distancia de por lo menos 1100 kms del punto desde 
donde fueron lanzados en las siguientes tres horas, es decir, seis horas después de que 
hayan sido lanzados. Si alguno de los cohetes robot falla en alguna de las pruebas, 
deberá ser desechado. 
Se sabe que las funciones de distancia de los dos cohetes son: 
Cohete 1:  
3 2( ) 20 270 1080s t t t t    
Cohete 2:  
3 2( ) 16 216 864 300s t t t t     
 
a) ¿Cuál es la distancia recorrida por cada cohete en 1.5 hrs? 
______________ ______________ 
 
b) ¿Cuál es la velocidad instantánea de cada cohete en 1hr 2hrs y 2.5 hrs? 
______________ ______________ 
______________ ______________ 
______________ ______________ 
 
c) ¿Cuál es la distancia máxima que recorre cada uno de los cohetes antes del 
regreso de los mismos? 
______________ ______________ 
 d) ¿En qué tiempo los cohetes comienzan a regresar hacia el lugar desde donde 
fueron lanzados? 
______________ ______________ 
 
  
Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 37 
 
e) Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t) del cohete 1, e indica la 
dirección del movimiento. 
 
T en horas 0 0.5    1.5      2      2.5      3      3.5      4     5      6      
s(t)           
v(t)           
Dir.,. del 
movimiento 
          
 
f) Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento del Cohete 
1 
 
 
 
g) Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t) del cohete 2, e indica la 
dirección del movimiento. 
 
T en horas 0 0.5    1.5      2      2.5      3      3.5      4     5      6      
s(t)           
v(t)           
Dir.,. del 
movimiento 
          
 
h) Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento del Cohete 
2 
 
 
 
i) ¿Cuál es la velocidad media de cada uno de los cohetes entre la segunda y 
tercera horas? 
______________ ______________ 
 
3 - 38  Unidad 3.  Derivada de Funciones Algebraicas 
 
j) Elabora las graficas de distancia s(t) y velocidad v(t) para el cohete 1 
 
k) Elabora las graficas de distancia s(t) y velocidad v(t) para el cohete 2 
 
m) ¿Cuál de los dos cohetes debe ser reemplazado?     
_______________________ 
 
3.- Para los ejercicios 1 y 2 anteriores, encuentra la función de aceleración. 
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 1 2 3 4 5 6 7
Horas
K
il
ó
m
e
tr
o
s
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 1 2 3 4 5 6 7
Horas
K
il
ó
m
e
tr
o
s

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