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Árboles de decisión


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8 arboles decision Transcripciones

8 
Árboles de decisión 
 
“Creo que nunca podré ver un 
poema tan bello como un árbol”. 
Joyce Kilmer 
 
“Las hojas tuyas, di, árbol son 
verdes, estás seguro?  
Qué alegría te corona por la 
mañana , a las once, cuando ya no 
hay dudas y todos dicen: “Qué 
verde está el árbol” 
Pedro Salinas 
 
“No podrás saber nada, sauce triste! 
!Tú que desmelenado sobre el agua 
te inclinas e interrogas sin saber 
nunca lo que el agua dice al pasar 
junto a ti” 
Pedro Salinas 
 
Se han desarrollado muchas técnicas para facilitar el proceso de decisión en la 
organización. Este desarrollo se ha producido en virtud del problema del 
desconocimiento del futuro, por lo menos hasta nuestros días. Una de estas 
técnicas de ayuda es comúnmente conocida como árboles de decisión. Esta 
técnica es un método conveniente para presentar y analizar una serie de 
decisiones que se deben tomar en diferentes puntos de tiempo. 
Las ideas básicas de la técnica de árboles de decisión 
Aunque el enfoque de árboles de decisión fue utilizado dentro del contexto de la 
teoría de la probabilidad, Magee fue el primero en utilizar el concepto para tratar el 
problema de las decisiones de inversión de capital. Posteriormente Hespos y 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 2
Strassmann propusieron, con algún detalle, combinar el análisis del riesgo, 
propuesto por Hertz y Hillier, con la técnica de los árboles de decisión (debe 
aclararse que Magee había previsto la combinación de estos enfoques cuando 
planteó la utilización de los árboles de decisión). Por su parte, en 1968, Raiffa 
desarrolló en forma detallada y muy clara la teoría de la decisión, donde se incluye 
la técnica propuesta por Magee y en general todo lo relacionado con las 
decisiones bajo riesgo. 
Aquí se presenta lo relacionado con los árboles de decisión dentro de los 
planteamientos de los mencionados autores. Sin embargo, se hace con la 
salvedad de que es una herramienta útil para visualizar las diferentes alternativas 
que se presentan al decisor y, además, para efectuar un mejor tratamiento 
probabilístico; pero de ahí a creer que se pueda utilizar como herramienta que 
involucre conceptos, tales como la teoría de la utilidad, hay un largo trecho. Los 
árboles de decisión son muy útiles para el planteamiento de problemas 
secuenciales, pero esta clase de situaciones implica decisiones con resultados 
hacia el futuro que, en términos de comportamiento del decisor, no se ha definido 
con claridad cómo manejarlos. 
 
En general, los problemas cuyos resultados se presentan como matrices de 
pago son susceptibles de ser representados como árboles de decisión. El 
problema del vendedor de periódicos que se presentó como una matriz de 
resultados, puede ilustrarse como un árbol de decisión (fig. 1): 
 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 3
 
 
20                     2,0 
 25                     2.0 
30                     2.0 
15                        -3,5 
    20                       -0,5 
Compra 15 
Compra 20 
Compra 25 
Compra 30
Ventas            Ganancia
           (miles) 
15        1,5  
20         1,5 
25         1,5 
30         1,5 
15                   -1,0 
25                          2,5 
   30      2,5 
15    -6.0 
20   -3.0 
25    0.0 
30     3,0  
FIGURA 1 El problema del vendedor de periódicos1 
 
En este caso se observa que no existen probabilidades asociadas a ningún 
evento.  
                                            
1 Los resultados están en miles y redondeados. 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 4
De igual manera, en el problema de la Lotería de Santander, las alternativas que 
se le presentan a quien la compre se pueden ilustrar también como un árbol de 
decisión. Las ramas de alternativas son comprar la lotería o no comprarla. La 
alternativa comprar tiene tantas ramas a partir de un nodo de azar, como premios 
existentes; en caso de no ganar, el valor asociado a ese evento es el valor pagado 
por el billete (negativo). Cada uno de los resultados posibles tiene también restado 
el valor del billete. 
 
Las operaciones con un árbol de decisión 
En un árbol de decisiones hay nodos y ramas. En la figura anterior se puede 
observar que hay líneas rectas que son las ramas, cuadrados que son los nodos o 
puntos de decisión y círculos que son nodos o puntos de azar. Las ramas que se 
extienden de los nodos indican las alternativas que se pueden tomar en el caso de 
nodos de decisión, o los diferentes resultados de un evento en el caso de los 
nodos de azar. En este último caso cada rama tiene asociada una probabilidad de 
ocurrencia. Esta probabilidad es una medida de la posibilidad de que ese evento 
ocurra. La suma de las probabilidades de las ramas que parten de cada nodo de 
evento es igual a uno. Es decir, que se supone que los eventos son exhaustivos; a 
los nodos de decisión no se les asigna probabilidades, ya que en esos puntos el 
decisor tiene el control y no es un evento aleatorio, sujeto al azar. 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 5
La secuencia óptima de decisiones se encuentra comenzando a la derecha y 
avanzando hacia el origen del árbol. En cada nodo se debe calcular un VPN 
esperado. Si el nodo es un evento, este VPN se calcula para todas las ramas que 
salen de ese nodo. Si el nodo es un punto de decisión, el VPN esperado se 
calcula para cada una de las ramas y se selecciona el más elevado. En cualquiera 
de los dos casos el VPN esperado se “lleva” hasta el siguiente evento multiplicado 
por la probabilidad asociada a la rama por la cual “se viaja”. 
 
Los diferentes autores que tratan el tema utilizan el criterio de maximización del 
valor esperado monetario; este es conocido también como el criterio bayesiano de 
decisión (ver apéndice para una presentación resumida del teorema de Bayes). 
Como ilustración se presentan tres ejemplos.  
Ejemplo 1 
El primer ejemplo consiste en el lanzamiento de un nuevo producto al mercado. 
En el primer punto de decisión hay que enfrentarse a dos alternativas: Introducir a 
escala nacional o a escala regional. En el segundo punto de decisión hay que 
decidir entre distribuir a nivel nacional o no. Gráficamente se tiene: 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 6
 
1 
C
Introducir 
regionalmente 
Baja demanda nacional 
P=0,29 -$0.5
2A 
B 
Baja demanda  regional P=0.30
Alta demanda 
regional P=0,70
Distribuir a escala 
nacional
No distribuír 
a escala nacional
Alta demanda 
nacional P=0,71 
Alta demanda regional y alta demanda nacional P=0,50      $7,5
Alta demanda regional y baja demanda nacional P= 0,20   $1,0
Baja demanda P=0,30                                                     -$4,0
VPN en miles 
de millones 
       $1,0
$4,5
D
Alta demanda 
nacional P=0,71
$2,5
Baja demanda 
 
nacional P=0,29  $2,0 
Introducir 
a escala 
nacional 
 
 
FIGURA 2 
 
Desarrollando este árbol, se tiene lo siguiente: 
 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 7
 
1 
C
Introducir 
regionalmente 
Baja demanda nacional 
P=0,29 -$0,5
2A 
B 
Baja demanda  regional P=0.30
Alta demanda 
regional P=0.70
Distribuír a escala 
nacional
No distribuír 
a escala nacional
Alta demanda 
nacional P=0.71
Alta demanda regional y alta demanda nacional P=0,50      $7.5
Alta demanda regional y baja demanda nacional P= 0,20   $1.0
Baja demanda P=0,30                                                     -$4.
VPN en miles
de millones 
$1,0
$4,5
D 
Alta demanda 
nacional P=0.71
$2,5
Baja demanda 
  
nacional P=0,29  $2.0 
Introducir 
a escala 
nacional 
3,05
1.775
.58
2.355
3,052,135
2.435 
3,75
0,2
-1,2
2.75 
 
 
FIGURA 3 
 
 
En el ejemplo, la probabilidad de obtener una demanda alta si se introduce el 
producto a nivel regional es 0,7, y la probabilidad de obtener una baja demanda es 
0,3. Cada combinación de decisiones y eventos tiene un resultado (en este caso, 
valor presente neto, VPN) asociado. 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 8
En la figura del ejemplo, el VPN de todas las ramas que emanan del evento C 
es (4,5x.71+(-.5)x.29)=3,05 y para el evento D es 2,355. Pasando al punto de 
decisión 2 se puede ver que la alternativa seleccionada sería “distribuir” a escala 
nacional. O sea que si el gerente se ve eventualmente confrontado a tomar la 
decisión en el punto 2, escogería esta alternativa, y en todos los análisis 
posteriores podría descartar cualquier otra. 
Siguiendo el análisis se pasa al evento A; el VPN esperado en ese nodo es 
(1x.3+3,05x.7)=2.435. De un modo similar el VPN esperado en el nodo B es 2,75. 
En la figura 3 se resume todo el proceso y se observa que la decisión que se 
seleccionaría sería “introducir a nivel nacional”. Se debe observar que en este 
análisis se ha utilizado el criterio de maximizar el VPN esperado. Otro enfoque 
pudo haber sido maximizar el valor esperado de la utilidad. 
Ejemplo 2 
El segundo ejemplo trata de una empresa que fabrica un insecticida muy 
efectivo, pero excesivamente tóxico. La firma está estudiando otro que no es 
tóxico, pero sin la efectividad del primero. Se sabe que en el Congreso está 
cursando un proyecto de ley que prohibe los insecticidas que produzcan efectos 
nocivos para la ecología. El director de relaciones públicas, que siempre está 
atento a las acciones gubernamentales que puedan afectar los intereses de la 
compañía, ha hecho algunos estimativos en relación con la fecha de aprobación 
de la ley. (El lector deberá hacer las reflexiones del caso y considerar si la firma 
debe o no esperar a que la ley sea aprobada para retirar del mercado este 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 9
producto, teniendo en cuenta los daños que el insecticida ocasiona en la 
ecología). 
 
Aprobación Probabilidad 
En 6 meses 50%
En 12 meses 20%
En 24 meses 30%
 
El gerente sabe que el tiempo necesario para vender un lote producido es de 4 
meses; esto quiere decir que si la ley se aprueba en 6 meses, no habría producto 
tóxico en el mercado para esa fecha. Por otro lado, costaría mucho pasar a 
producir rápidamente de un clase a otra, pero también considera antieconómico 
parar la producción antes de tiempo. 
En una reunión con el gerente de mercadeo y el de producción, llegaron a 
determinar los siguientes resultados en millones de pesos: 
 
  Aprobación de 
la ley en 6 
meses 
Aprobación de 
la ley en 12 
meses 
Aprobación de la 
ley en 24 meses 
a1 Cambiar a no tóxico en 20 
meses o cuando se apruebe 
la ley 
-110 -80 160  
a2: Cambia a no tóxico en 16 
meses o cuando se apruebe 
la ley 
- 85 -50 100 
a3: Cambiar a no tóxico en 8 
meses o cuando se apruebe 
la ley 
-25 40 -50 
a4: Cambiar a no tóxico en 2 
meses 
 20  0 -30 
 
Esta situación se puede expresar en forma de árbol, así: 
 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 10
 
Estado                 Valor      Probabilidad 
6 meses                 -85                0,50 
12 meses             -50                  0,20 
24 meses            100                 0,30 
6 meses               -25                 0,50 
12 meses              40                 0,20 
24 meses            -50                 0,30 
a1 
a2 
a3 
a4 
6 meses              -110              0,50
12 meses             -80                 0,20 
24 meses            160              0,30
6 meses              -110               0,50 
12 meses             -80               0,20 
24 meses            160              0,30
 
 
FIGURA 4 
 
La técnica de análisis de decisiones con árboles de decisión, consiste en 
efectuar cálculos en cada nodo de azar para encontrar el valor esperado. Ese 
valor reemplaza al nodo de azar y se compara con cada uno de los demás que 
parten de un nodo de decisión para, posteriormente, seleccionar el mayor. Este 
valor se asigna al nodo de decisión correspondiente y se llama valor de posición 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 11
del nodo de decisión. En el ejemplo del insecticida solo existe un nodo de 
decisión; más adelante se presentará el tercer ejemplo, que es más complejo. 
Como se puede observar, la alternativa óptima bajo criterio bayesiano o de 
maximización del valor esperado es la alternativa a4. (¿Coincidirá con la solución a 
la cual usted llegó al reflexionar si debía retirar del mercado el producto, 
independientemente de la aprobación de la ley?). 
En el ejemplo anterior no se evidencia la utilidad del procedimiento. Este 
muestra todo su poder cuando existen decisiones secuenciales. Para ilustrarlo, 
considérese este tercer ejemplo: 
Ejemplo 3 
Una compañía estudia la introducción de un nuevo producto. Debido a que en 
situaciones similares se presentaron fracasos, se decide ejecutar un plan para el 
desarrollo del producto. Esto incluye estudios de mercado a ciertos costos. 
El plan consiste en lo siguiente: Se introduce el producto sin ningún estudio, o 
se procede a contratar un estudio de mercado. Dependiendo de los resultados, se 
debe decidir entre contratar una segunda etapa más precisa y costosa o introducir 
el producto con la información disponible. La primera etapa cuesta $800.000 y 
tiene una confiabilidad de 60%, de tal manera que si el producto es bueno, el 
estudio lo indicará así; e indicará lo contrario, o sea, que es negativo, con una 
probabilidad de 40%. La segunda etapa cuesta $4.000.000 y tiene una 
confiabilidad de 70%. Por consiguiente, si el producto es bueno, el estudio lo 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 12
indicará con una probabilidad de 70% y, a su vez, indicará lo contrario con una 
probabilidad de 30%. 
 
En la figura 1 se pueden observar las diferentes alternativas y eventos 
asociados a este problema. Allí se han asociado probabilidades a los diferentes 
eventos. Más adelante se deducirán estos valores. Por lo pronto se describirá el 
proceso de decisión de acuerdo con lo que indica el árbol. 
Existen programas que se adicionan a Excel que sirven para este tipo de 
operaciones con árboles de decisión. El interesado puede bajar un programa de 
muestra desde http://www.treeplan.com/ o desde http://www.decisiontoolpak.com/. 
Análisis del problema 
Si se decide no realizar ningún estudio de mercado, el decisor puede introducir o 
no el producto; si lo introduce, la única información con que cuenta es un 
estimativo a priori de que la probabilidad de exito es igual al 35%, y la probabilidad 
de fracaso es igual al 65%. 
Si se decide abordar la primera etapa del estudio de mercado, a un costo de 
$800.000, se puede indicar que el producto es bueno (primera etapa exitosa) con 
una probabilidad de 47%. A partir de allí, el decisor deberá escoger entre continuar 
o no con la segunda etapa. Si descontinúa el estudio, deberá decidir entre 
introducir o no el producto. Si decide introducirlo, las probabilidades de éxito y 
fracaso se habrán modificado gracias a la información arrojada por la primera 
etapa; estas probabilidades son de 45% para éxito y 55% para fracaso (si la 
primera etapa del estudio indicó un resultado positivo, intuitivamente se espera 
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 13
que se mejore el estimativo inicial). Si se decide emprender la segunda etapa del 
estudio a un costo de $4.000.000, esta etapa indicará un resultado positivo con 
probabilidad de 48%, y negativo con una probabilidad de 52%. Si el resultado es 
positivo deberá decidir entre introducir el producto o no. Si lo introduce, las 
probabilidades de éxito y fracaso se habrán modificado nuevamente, gracias a los 
resultados de la segunda etapa, en 65,6% y 34,4% respectivamente. Si el 
resultado es negativo tendría que decidir entre introducir o no el producto, y la 
probabilidad de éxito se habría modificado a 26%, y la de fracaso a 74%. (Si la 
segunda etapa indica fracaso, es razonable pensar que la probabilidad de éxito 
estimada sea menor que si el resultado del estudio hubiera sido positivo). 
 Si la primera etapa del estudio indica que el producto sería un fracaso, debe 
decidir entre descontinuar o no el estudio. Si se descontinúa el estudio deberá 
decidir entre introducir o no el producto. Si se decide introducir el producto las 
probabilidades de éxito y fracaso se habrán modificado a un 26,4% y 73,6%, como 
resultado de lo que indicó la primera etapa. (Nuevamente, si la primera etapa 
indicó que el producto seria un fracaso, es de esperarse que la probabilidad de 
éxito revisada sea menor que 35%). 
Si decide continuar con la segunda etapa del estudio, ésta puede indicar que el 
producto es un éxito con una probabilidad de 40,6%, y que es un fracaso con una 
probabilidad de 59,4%. Si indica que es un fracaso deberá decidir entre introducir 
o no el producto; si lo introduce, la probabilidad de éxito se reduce a 13,3% y la de 
fracaso aumenta a 86,7% (esto es lógico de acuerdo con lo mencionado antes). Si 
TEORIA DE LA DECISION  IGNACIO VELEZ PAREJA 
 
 14
la segunda etapa indica que el producto es un éxito, debe también decidirse entre 
introducir o no el producto. Si decide introducirlo, las probabilidades de éxito y 
fracaso se modifican a 46% y 54% respectivamente. 
Con el árbol de decisión de la figura 1 se procede a “devolverse” y fijar los 
valores de los nodos de decisión. Ya en la figura 2 las ramas que están cruzadas 
por dos rayitas no son óptimas. El número encima de los nodos de azar indica el 
valor esperado de ese nodo; el número encima de los nodos de decisión indica el 
valor de la mejor alternativa en ese nodo, y se llama valor de posición. En la figura 
2 aparece el árbol desarrollado y se indican las alternativas óptimas. A partir de allí 
se puede entonces desarrollar las políticas a seguir, dados los resultados de los 
estudios. Esto es, se debe realizar la primera etapa del estudio; si hay un 
resultado positivo se debe emprender la segunda etapa del estudio y, en caso de 
que ésta indique que el producto es un éxito, se debe introducir el producto; en 
caso contrario, no . Si la primera etapa indicara que el producto es un fracaso, se 
debe emprender la segunda etapa del estudio y, en caso de que ésta indique que 
el producto es un éxito, se debe introducir, de otra manera no. 
 

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